三角学示例

$\sqrt{w^{11}}$

解题步骤 1

交换变量。

$w = \sqrt{y^{11}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt{y^{11}} = w$ 。

$\sqrt{y^{11}} = w$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y^{11}}}^{2} = w^{2}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{11}}$ 重写成 $y^{\frac{11}{2}}$ 。

${(y^{\frac{11}{2}})}^{2} = w^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

将 ${(y^{\frac{11}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{11} = w^{2}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[11]{w^{2}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ 是否为 $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (w)) = w$ 和 $f (f^{- 1} (w)) = w$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (w))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (w))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{w^{11}})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(\sqrt{w^{11}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $w^{11}$ 重写为 ${(w^{5})}^{2} w$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

因式分解出 $w^{10}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{w^{10} w}}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $w^{10}$ 重写为 ${(w^{5})}^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{{(w^{5})}^{2} w}}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5} \sqrt{w})}^{2}}$

解题步骤 4.2.5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.5.1

对 $w^{5} \sqrt{w}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5})}^{2} {\sqrt{w}}^{2}}$

解题步骤 4.2.5.2

将 ${(w^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{5 \cdot 2} {\sqrt{w}}^{2}}$

解题步骤 4.2.5.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {\sqrt{w}}^{2}}$

解题步骤 4.2.6

将 ${\sqrt{w}}^{2}$ 重写为 $w$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

解题步骤 4.2.6.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

解题步骤 4.2.7

通过指数相加将 $w^{10}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

将 $w^{10}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

解题步骤 4.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10 + 1}}$

解题步骤 4.2.7.2

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{11}}$

解题步骤 4.2.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = w$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (w))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (w))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[11]{w^{2}})$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(\sqrt[11]{w^{2}})}^{11}}$

解题步骤 4.3.3

将 ${\sqrt[11]{w^{2}}}^{11}$ 重写为 $w^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[11]{w^{2}}$ 重写成 $w^{\frac{2}{11}}$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(w^{\frac{2}{11}})}^{11}}$

解题步骤 4.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{11} \cdot 11}}$

解题步骤 4.3.3.3

组合 $\frac{2}{11}$ 和 $11$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2 \cdot 11}{11}}}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{22}{11}}}$

解题步骤 4.3.3.5

约去 $22$ 和 $11$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.1

从 $22$ 中分解出因数 $11$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11}}}$

解题步骤 4.3.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.2.1

从 $11$ 中分解出因数 $11$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 (1)}}}$

解题步骤 4.3.3.5.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 \cdot 1}}}$

解题步骤 4.3.3.5.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 4.3.3.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{2}}$

解题步骤 4.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = w$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (w)) = w$ 和 $f (f^{- 1} (w)) = w$ ，因此 $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ 为 $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$

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