三角学示例

$2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 2 \sec^{2} (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2 \sec^{2} (y) = x$ 。

$2 \sec^{2} (y) = x$

解题步骤 2.2

将 $2 \sec^{2} (y) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 \sec^{2} (y) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sec^{2} (y)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{\frac{x}{2}}$

解题步骤 2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\sqrt{\frac{x}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.4.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.4.3.6.5

计算指数。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$

解题步骤 2.4.5

将 $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}, - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

解题步骤 2.6

建立每一个解以求解 $y$ 。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

解题步骤 2.7

在 $\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $y$ 。

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

解题步骤 2.8

在 $\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $y$ 。

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

解题步骤 2.9

列出所有解。

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 是否为 $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ 和 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[2, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{2 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x \geq 0$

解题步骤 4.3.2

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 4.3.3

将 $arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 的自变量设为小于或等于 $- 1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \leq - 1$

解题步骤 4.3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \leq - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.4.2

化简。

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解题步骤 4.3.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \leq - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.4.2.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt{2 x} \leq - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{2 x} \leq - 2$

解题步骤 4.3.4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.3.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{2 x}}^{2} \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.3.4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.4.3.2.2.1

化简 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1

将 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x)}^{1} \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.2

化简。

$2 x \leq {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.3.2.3.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 x \leq 4$

解题步骤 4.3.4.3.3

将 $2 x \leq 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.4.3.3.1

将 $2 x \leq 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.4.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.3.3.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$x \leq 2$

解题步骤 4.3.4.4

求 $\frac{\sqrt{2 x}}{2} + 1$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.4.4.1

将 $\sqrt{2 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x \geq 0$

解题步骤 4.3.4.4.2

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.4.4.2.1

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.4.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 4.3.4.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.3.4.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

解题步骤 4.3.4.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 4.3.4.6.1

检验区间 $x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.3.4.6.1.1

选择区间 $x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 4.3.4.6.1.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{\sqrt{2 (- 2)}}{2} \leq - 1$

解题步骤 4.3.4.6.1.3

因为左边不等于右边，所以该命题为假命题。

False

解题步骤 4.3.4.6.2

检验区间 $0 < x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.3.4.6.2.1

选择区间 $0 < x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1$

解题步骤 4.3.4.6.2.2

使用原不等式中的 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{\sqrt{2 (1)}}{2} \leq - 1$

解题步骤 4.3.4.6.2.3

左边的 $0.70710678$ 大于右边的 $- 1$ ，即表示给定命题是假命题。

False

解题步骤 4.3.4.6.3

检验区间 $x > 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.3.4.6.3.1

选择区间 $x > 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 4.3.4.6.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{\sqrt{2 (4)}}{2} \leq - 1$

解题步骤 4.3.4.6.3.3

左边的 $1.41421356$ 大于右边的 $- 1$ ，即表示给定命题是假命题。

False

解题步骤 4.3.4.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 0$ 为假

$0 < x < 2$ 为假

$x > 2$ 为假

$x < 0$ 为假

$0 < x < 2$ 为假

$x > 2$ 为假

解题步骤 4.3.4.7

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

无解

解题步骤 4.3.5

将 $arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 的自变量设为大于或等于 $1$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \geq 1$

解题步骤 4.3.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.6.2

化简。

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解题步骤 4.3.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.6.2.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt{2 x} \geq 1 \cdot 2$

解题步骤 4.3.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{2 x} \geq 2$

解题步骤 4.3.6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.6.3.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{2 x}}^{2} \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.3.6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.6.3.2.2.1

化简 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.1

将 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x)}^{1} \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2.2.1.2

化简。

$2 x \geq 2^{2}$

解题步骤 4.3.6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.3.2.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 x \geq 4$

解题步骤 4.3.6.3.3

将 $2 x \geq 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.6.3.3.1

将 $2 x \geq 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.6.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.6.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{4}{2}$

解题步骤 4.3.6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.3.3.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$x \geq 2$

解题步骤 4.3.6.4

求 $\frac{\sqrt{2 x}}{2} - 1$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.6.4.1

将 $\sqrt{2 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x \geq 0$

解题步骤 4.3.6.4.2

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.6.4.2.1

将 $2 x \geq 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.6.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.6.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 4.3.6.4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.3.6.5

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 2$

解题步骤 4.3.7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.4

因为 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 的定义域并不等于 $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ 并非 $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

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