三角学示例

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ 。

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ 重写成 ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简。

$1 + \tan (y) = x^{3}$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (y) = x^{3} - 1$

解题步骤 2.5

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

解题步骤 4.2.3

将 ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ 重写为 $1 + \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ 重写成 ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

解题步骤 4.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

解题步骤 4.2.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

解题步骤 4.2.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

解题步骤 4.2.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

解题步骤 4.2.3.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

解题步骤 4.2.4

合并 $1 + \tan (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

解题步骤 4.2.4.2

将 $0$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arctan (x^{3} - 1))$ 。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

解题步骤 4.3.3

正切和余切互为反函数。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

解题步骤 4.3.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 4.3.5

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 4.3.6

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

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