三角学示例

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ 。

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

解题步骤 2.2

将 $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

将 $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ 是否为 $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1

从 $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.1.2.4

用 $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.2

乘以 $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.4.1

合并 $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

解题步骤 4.3.4.1.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

解题步骤 4.3.4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.2.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $\arccos (- \frac{x}{2})$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

解题步骤 4.3.5

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

解题步骤 4.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

解题步骤 4.3.6.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

解题步骤 4.3.6.3

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

解题步骤 4.3.6.4

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

解题步骤 4.3.7

乘。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

解题步骤 4.3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ 为 $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

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