三角学示例

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$

解题步骤 2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (y)$ 。

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.3

分离分数。

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{\cos (y)}$ 转换成 $\sec (y)$ 。

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.5

用 $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.6

使用正弦倍角公式。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

组合 $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ 和 $\sec (y)$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.7.2

将 $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.8

分离分数。

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 2.9

将 $\frac{1}{\cos (y)}$ 转换成 $\sec (y)$ 。

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \sec (y)$

解题步骤 2.10

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

解题步骤 2.11

化简左边。

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解题步骤 2.11.1

化简 $\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ 。

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解题步骤 2.11.1.1

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos (y)} {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

解题步骤 2.11.1.2

组合 $\frac{1}{\cos (y)}$ 和 ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ 。

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

解题步骤 2.11.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

解题步骤 2.11.1.4

将 $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}$ 乘以 $\frac{1}{1 + \sin (2 y)}$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \sec (y)$

解题步骤 2.12

化简右边。

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解题步骤 2.12.1

化简 $x \sec (y)$ 。

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解题步骤 2.12.1.1

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 2.12.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.13

等式两边同时乘以 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.14

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.1

约去公因数。

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.14.2

重写表达式。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.15

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1

约去公因数。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

解题步骤 2.15.2

重写表达式。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x$

解题步骤 2.16

两边同时乘以 $1 + \sin (2 y)$ 。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

解题步骤 2.17

化简。

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解题步骤 2.17.1

化简左边。

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解题步骤 2.17.1.1

约去 $1 + \sin (2 y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.17.1.1.1

约去公因数。

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

解题步骤 2.17.1.1.2

重写表达式。

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x (1 + \sin (2 y))$

解题步骤 2.17.2

化简右边。

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解题步骤 2.17.2.1

化简 $x (1 + \sin (2 y))$ 。

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解题步骤 2.17.2.1.1

运用分配律。

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x \cdot 1 + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.17.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.18.1

化简左边。

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解题步骤 2.18.1.1

化简 ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.18.1.1.1

重写。

$0 + 0 + {(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.2

将 ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ 重写为 $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ 。

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ 。

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解题步骤 2.18.1.1.3.1

运用分配律。

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.3.2

运用分配律。

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.3.3

运用分配律。

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.18.1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.18.1.1.4.1.1

乘以 $\sin (y) \sin (y)$ 。

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解题步骤 2.18.1.1.4.1.1.1

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.1.2

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.2

乘以 $\cos (y) \cos (y)$ 。

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解题步骤 2.18.1.1.4.1.2.1

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.2.2

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.2

重新排序 $\sin (y) \cos (y)$ 的因式。

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.4.3

将 $\cos (y) \sin (y)$ 和 $\cos (y) \sin (y)$ 相加。

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.5

移动 $\cos^{2} (y)$ 。

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.6

使用勾股恒等式。

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 2.18.1.1.7.1

将 $2 \cos (y)$ 和 $\sin (y)$ 重新排序。

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.7.2

将 $\sin (y)$ 和 $2$ 重新排序。

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.1.1.7.3

使用正弦倍角公式。

$1 + \sin (2 y) = x + x \sin (2 y)$

解题步骤 2.18.2

代入 $u$ 替换 $\sin (2 y)$ 。

$1 + u = x + x (u)$

解题步骤 2.18.3

从等式两边同时减去 $x u$ 。

$1 + u - x u = x$

解题步骤 2.18.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u - x u = x - 1$

解题步骤 2.18.5

从 $u - x u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.18.5.1

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

解题步骤 2.18.5.2

从 $- x u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

解题步骤 2.18.5.3

从 $u \cdot 1 + u (- x)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 - x) = x - 1$

解题步骤 2.18.6

将 $u (1 - x) = x - 1$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 2.18.6.1

将 $u (1 - x) = x - 1$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.18.6.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.18.6.3.1

在公分母上合并分子。

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.3.2

约去 $x - 1$ 和 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.6.3.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.3.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.3.2.3

从 $- 1 (- x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

解题步骤 2.18.6.3.2.4

重新排序项。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 2.18.6.3.2.5

约去公因数。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 2.18.6.3.2.6

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 2.18.7

代入 $\sin (2 y)$ 替换 $u$ 。

$\sin (2 y) = - 1$

解题步骤 2.18.8

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$2 y = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.18.9

化简右边。

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解题步骤 2.18.9.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$2 y = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.18.10

将 $2 y = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.18.10.1

将 $2 y = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.10.2

化简左边。

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解题步骤 2.18.10.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.10.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.10.3

化简右边。

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解题步骤 2.18.10.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.18.10.3.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.18.10.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$y = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.18.10.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.18.11

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.18.12

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.18.12.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.18.12.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$2 y = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.18.12.3

将 $2 y = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.18.12.3.1

将 $2 y = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.12.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.18.12.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.12.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.12.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.18.12.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.18.12.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.18.12.3.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.18.12.3.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.18.12.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.18.13

求 $\sin (2 y)$ 的周期。

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解题步骤 2.18.13.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.18.13.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.18.13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.18.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.13.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.18.13.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.18.14

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.18.14.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.18.14.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.18.14.3

合并分数。

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解题步骤 2.18.14.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.18.14.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.18.14.4

化简分子。

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解题步骤 2.18.14.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.18.14.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.18.14.5

列出新角。

$y = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.18.15

$\sin (2 y)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 是否为 $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\frac{3 π}{4} + π n$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 的定义域并不等于 $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 并非 $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

三角学示例