三角学示例

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

解题步骤 1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

解题步骤 2.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

解题步骤 3

交换变量。为每个表达式创建一个方程。

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ 。

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

解题步骤 4.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 (y + 1)}$ 重写成 ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

运用分配律。

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.3

化简。

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解题步骤 4.4.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.3.2

化简。

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

化简 ${(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

解题步骤 4.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.2.1

运用分配律。

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

解题步骤 4.4.3.1.2.2

运用分配律。

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

解题步骤 4.4.3.1.2.3

运用分配律。

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

解题步骤 4.4.3.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 4.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.5.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.5.1.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

解题步骤 4.5.1.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

解题步骤 4.5.2

将 $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 4.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 4.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 5

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 6

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的反函数。

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解题步骤 6.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 6.2

求 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的值域。

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解题步骤 6.2.1

求 $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的值域。

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解题步骤 6.2.1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[2, \infty)$

解题步骤 6.2.2

求 $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的值域。

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解题步骤 6.2.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 2]$

解题步骤 6.2.3

求 $[2, \infty), (- \infty, 2]$ 的并集。

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解题步骤 6.2.3.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 6.3

求 $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的定义域。

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解题步骤 6.3.1

将 $\sqrt{3 (x + 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$3 (x + 1) \geq 0$

解题步骤 6.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $3 (x + 1) \geq 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 $3 (x + 1) \geq 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.2.1.2.1.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x + 1 \geq 0$

解题步骤 6.3.2.2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 6.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 1, \infty)$

解题步骤 6.4

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ 的定义域为 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ 的值域又为 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ 为 $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7

三角学 示例

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