三角学示例

$\cos (\arcsin (7 x))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ 。

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $\arcsin (7 y)$ 。

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$7 y = \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\sin (\arccos (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.4.1.1.1

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.5

将 $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 是否为 $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

解题步骤 4.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (7 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (7 x))$ 为 $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

解题步骤 4.2.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 7 x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

解题步骤 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

解题步骤 4.2.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

解题步骤 4.2.4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 7 x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

解题步骤 4.2.4.8

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

解题步骤 4.3.3

合并分数。

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解题步骤 4.3.3.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.3

以因式分解的形式重写 $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 。

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解题步骤 4.3.5.3.1

从 $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 4.3.5.3.1.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.3.1.2

从 $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ 。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.3.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.3.2.2

用 $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

解题步骤 4.3.5.4.2

用 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 为 $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

三角学 示例

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