三角学示例

$\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (\arcsin (\frac{5}{y}))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$ 。

$\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $\arcsin (\frac{5}{y})$ 。

$\arcsin (\frac{5}{y}) = \arccos (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$\frac{5}{y} = \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\sin (\arccos (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.4.1.1.1

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{5}{y} = \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{5}{y} = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.5

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.5.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1$

解题步骤 2.5.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 2.6

将 $\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

解题步骤 2.6.2.1.2

重写表达式。

$5 = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

解题步骤 2.7

求解方程。

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解题步骤 2.7.1

将方程重写为 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ 。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$

解题步骤 2.7.2

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ 中的每一项除以 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 并化简。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ 中的每一项都除以 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.2.1

约去 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.2.3.1

将 $\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.2.3.2.1

将 $\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

解题步骤 2.7.2.3.2.6.5

化简。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 是否为 $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x})))$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}$

解题步骤 4.2.3

去掉圆括号。

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{5}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.8

将 $\frac{x + 5}{x}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.10

将 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ 。

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解题步骤 4.2.4.10.1

从 $(x + 5) (x - 5)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.10.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.11

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.12

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.13

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.14

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.16

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.17

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.18

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.19

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.20

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.21

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.22

将 $\frac{x + 5}{x}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.23

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.24

将 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ 。

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解题步骤 4.2.4.24.1

从 $(x + 5) (x - 5)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.24.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.24.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.25

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.26

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.27

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.28

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.29

将 $\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 乘以 $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.30

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.31

使用 FOIL 方法展开 $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 。

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解题步骤 4.2.4.31.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.31.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.31.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.32

合并 $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.32.1

按照 $x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.32.2

将 $- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 和 $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.32.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.33.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.2

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.3

乘以 $- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

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解题步骤 4.2.4.33.3.1

对 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.3.2

对 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4

将 ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ 重写为 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 4.2.4.33.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 重写成 ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.33.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.4.5

化简。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 4.2.4.33.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.5.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.33.6.1

按照 $x \cdot - 5$ 和 $5 x$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.6.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.33.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.7.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.8

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.33.9

将 $- 1$ 乘以 $- 25$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.34

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{0 + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.35

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.36

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{5^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.37

将 $\frac{5^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{5}{x})}^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{{(\frac{5}{x})}^{2}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.4.38

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5

化简分母。

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解题步骤 4.2.5.1

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.8

将 $\frac{x + 5}{x}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.10

将 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ 。

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解题步骤 4.2.5.10.1

从 $(x + 5) (x - 5)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.10.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.11

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.12

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.13

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.14

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

解题步骤 4.2.5.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

解题步骤 4.2.5.16

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

解题步骤 4.2.5.17

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

解题步骤 4.2.5.18

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

解题步骤 4.2.5.19

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}$

解题步骤 4.2.5.20

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}$

解题步骤 4.2.5.21

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}$

解题步骤 4.2.5.22

将 $\frac{x + 5}{x}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}$

解题步骤 4.2.5.23

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}$

解题步骤 4.2.5.24

将 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ 。

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解题步骤 4.2.5.24.1

从 $(x + 5) (x - 5)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}$

解题步骤 4.2.5.24.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}$

解题步骤 4.2.5.24.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}$

解题步骤 4.2.5.25

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}$

解题步骤 4.2.5.26

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

解题步骤 4.2.5.27

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

解题步骤 4.2.5.28

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

解题步骤 4.2.6

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.1

组合 $5$ 和 $\frac{5}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

解题步骤 4.2.6.2

将 $\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 乘以 $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

解题步骤 4.2.6.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

解题步骤 4.2.7

化简分母。

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解题步骤 4.2.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{1 + 1}}}$

解题步骤 4.2.7.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8

化简分母。

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解题步骤 4.2.8.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 。

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解题步骤 4.2.8.1.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.1.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.1.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.2

合并 $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.8.2.1

按照 $x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ 和 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.2.2

将 $- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 和 $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.8.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.3

乘以 $- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 。

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解题步骤 4.2.8.3.3.1

对 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.3.2

对 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4

将 ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ 重写为 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 4.2.8.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 重写成 ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.3.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.4.5

化简。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 4.2.8.3.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.5.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.8.3.6.1

按照 $x \cdot - 5$ 和 $5 x$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.6.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.8.3.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.7.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.8

运用分配律。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 25$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.4

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{0 + 25}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.5

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{25}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.9

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25}{x} \cdot \frac{x^{2}}{25}$

解题步骤 4.2.10

合并。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

解题步骤 4.2.11

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

解题步骤 4.2.11.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x^{2}}{x}$

解题步骤 4.2.12

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.12.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

解题步骤 4.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.12.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

解题步骤 4.2.12.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

解题步骤 4.2.12.2.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

解题步骤 4.2.12.2.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x}{1}$

解题步骤 4.2.12.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$

解题步骤 4.3.3

使用指数书写表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

解题步骤 4.3.5.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})))}$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

解题步骤 4.3.5.3

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}))}$

解题步骤 4.3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.5.4.1

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

解题步骤 4.3.5.4.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.5.4.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}$

解题步骤 4.3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 4.3.5.4.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

解题步骤 4.3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

解题步骤 4.3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

解题步骤 4.3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.4.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 4.3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.5.4.6.5

化简。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.5.5

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.5.1

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.5.5.2

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

解题步骤 4.3.5.6

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.6.1

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

解题步骤 4.3.5.6.2

用 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6

化简每一项。

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解题步骤 4.3.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

从 $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.3

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.6.4.1

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.4.6.5

化简。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.5

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.5.1

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.5.2

重写表达式。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.6

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.6.1

约去公因数。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.3.6.6.2

用 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 为 $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

三角学 示例

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