输入问题...
三角学 示例
cos(arccsc(u))
解题步骤 1
交换变量。
u=cos(arccsc(y))
解题步骤 2
解题步骤 2.1
将方程重写为 cos(arccsc(y))=u。
cos(arccsc(y))=u
解题步骤 2.2
取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 arccsc(y)。
arccsc(y)=arccos(u)
解题步骤 2.3
Take the inverse arccosecant of both sides of the equation to extract y from inside the arccosecant.
y=csc(arccos(u))
解题步骤 2.4
化简右边。
解题步骤 2.4.1
化简 csc(arccos(u))。
解题步骤 2.4.1.1
在平面中画出顶点为 (u,√12-u2)、(u,0) 和原点的三角形。则 arccos(u) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (u,√12-u2) 的射线之间形成的一个角。因此,csc(arccos(u)) 为 1√1-u2。
y=1√1-u2
解题步骤 2.4.1.2
化简分母。
解题步骤 2.4.1.2.1
将 1 重写为 12。
y=1√12-u2
解题步骤 2.4.1.2.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=1 和 b=u。
y=1√(1+u)(1-u)
y=1√(1+u)(1-u)
解题步骤 2.4.1.3
将 1√(1+u)(1-u) 乘以 √(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)。
y=1√(1+u)(1-u)⋅√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)
解题步骤 2.4.1.4
合并和化简分母。
解题步骤 2.4.1.4.1
将 1√(1+u)(1-u) 乘以 √(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)。
y=√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)
解题步骤 2.4.1.4.2
对 √(1+u)(1-u) 进行 1 次方运算。
y=√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)1√(1+u)(1-u)
解题步骤 2.4.1.4.3
对 √(1+u)(1-u) 进行 1 次方运算。
y=√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)1√(1+u)(1-u)1
解题步骤 2.4.1.4.4
使用幂法则 aman=am+n 合并指数。
y=√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)1+1
解题步骤 2.4.1.4.5
将 1 和 1 相加。
y=√(1+u)(1-u)√(1+u)(1-u)2
解题步骤 2.4.1.4.6
将 √(1+u)(1-u)2 重写为 (1+u)(1-u)。
解题步骤 2.4.1.4.6.1
使用 n√ax=axn,将√(1+u)(1-u) 重写成 ((1+u)(1-u))12。
y=√(1+u)(1-u)(((1+u)(1-u))12)2
解题步骤 2.4.1.4.6.2
运用幂法则并将指数相乘,(am)n=amn。
y=√(1+u)(1-u)((1+u)(1-u))12⋅2
解题步骤 2.4.1.4.6.3
组合 12 和 2。
y=√(1+u)(1-u)((1+u)(1-u))22
解题步骤 2.4.1.4.6.4
约去 2 的公因数。
解题步骤 2.4.1.4.6.4.1
约去公因数。
y=√(1+u)(1-u)((1+u)(1-u))22
解题步骤 2.4.1.4.6.4.2
重写表达式。
y=√(1+u)(1-u)((1+u)(1-u))1
y=√(1+u)(1-u)((1+u)(1-u))1
解题步骤 2.4.1.4.6.5
化简。
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
y=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
解题步骤 3
Replace y with f-1(u) to show the final answer.
f-1(u)=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
解题步骤 4
解题步骤 4.1
要验证反函数,请检查 f-1(f(u))=u 和 f(f-1(u))=u 是否成立。
解题步骤 4.2
计算 f-1(f(u))。
解题步骤 4.2.1
建立复合结果函数。
f-1(f(u))
解题步骤 4.2.2
通过将 f 的值代入 f-1 来计算 f-1(cos(arccsc(u)))。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+cos(arccsc(u)))(1-(cos(arccsc(u))))(1+cos(arccsc(u)))(1-(cos(arccsc(u))))
解题步骤 4.2.3
去掉圆括号。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+cos(arccsc(u)))(1-(cos(arccsc(u))))(1+cos(arccsc(u)))(1-(cos(arccsc(u))))
解题步骤 4.2.4
化简分子。
解题步骤 4.2.4.1
在平面中画出顶点为 (√u2-12,1)、(√u2-12,0) 和原点的三角形。则 arccsc(u) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (√u2-12,1) 的射线之间形成的一个角。因此,cos(arccsc(u)) 为 √u2-1u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+√u2-1u)(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.2
化简分子。
解题步骤 4.2.4.2.1
将 1 重写为 12。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+√u2-12u)(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.2.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=u 和 b=1。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.3
将 1 写成具有公分母的分数。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(uu+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.4
在公分母上合并分子。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(1-cos(arccsc(u)))(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.5
在平面中画出顶点为 (√u2-12,1)、(√u2-12,0) 和原点的三角形。则 arccsc(u) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (√u2-12,1) 的射线之间形成的一个角。因此,cos(arccsc(u)) 为 √u2-1u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√u2-1u)(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.6
化简分子。
解题步骤 4.2.4.6.1
将 1 重写为 12。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√u2-12u)(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.6.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=u 和 b=1。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√(u+1)(u-1)u)(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√(u+1)(u-1)u)(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.7
将 1 写成具有公分母的分数。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅(uu-√(u+1)(u-1)u)(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.8
在公分母上合并分子。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u+√(u+1)(u-1)u⋅u-√(u+1)(u-1)u(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.9
将 u+√(u+1)(u-1)u 乘以 u-√(u+1)(u-1)u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u⋅u(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.10
将 u 乘以 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.11
使用 FOIL 方法展开 (u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))。
解题步骤 4.2.4.11.1
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u(u-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)(u-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.11.2
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)(u-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.11.3
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.12
合并 u⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1)) 中相反的项。
解题步骤 4.2.4.12.1
按照 u(-√(u+1)(u-1)) 和 √(u+1)(u-1)u 重新排列因数。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u-u√(u+1)(u-1)+u√(u+1)(u-1)+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.12.2
将 -u√(u+1)(u-1) 和 u√(u+1)(u-1) 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+0+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.12.3
将 u⋅u 和 0 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u⋅u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13
化简每一项。
解题步骤 4.2.4.13.1
将 u 乘以 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.2
使用乘法的交换性质重写。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.3
乘以 -√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.4.13.3.1
对 √(u+1)(u-1) 进行 1 次方运算。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.3.2
对 √(u+1)(u-1) 进行 1 次方运算。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.3.3
使用幂法则 aman=am+n 合并指数。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-√(u+1)(u-1)1+1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.3.4
将 1 和 1 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-√(u+1)(u-1)2u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-√(u+1)(u-1)2u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4
将 √(u+1)(u-1)2 重写为 (u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.4.13.4.1
使用 n√ax=axn,将√(u+1)(u-1) 重写成 ((u+1)(u-1))12。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(((u+1)(u-1))12)2u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4.2
运用幂法则并将指数相乘,(am)n=amn。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))12⋅2u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4.3
组合 12 和 2。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))22u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4.4
约去 2 的公因数。
解题步骤 4.2.4.13.4.4.1
约去公因数。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))22u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4.4.2
重写表达式。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.4.5
化简。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-((u+1)(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.5
使用 FOIL 方法展开 (u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.4.13.5.1
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u(u-1)+1(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.5.2
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u⋅u+u⋅-1+1(u-1))u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.5.3
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u⋅u+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u⋅u+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6
化简并合并同类项。
解题步骤 4.2.4.13.6.1
化简每一项。
解题步骤 4.2.4.13.6.1.1
将 u 乘以 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.1.2
将 -1 移到 u 的左侧。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-1⋅u+1u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.1.3
将 -1u 重写为 -u。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-u+1u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.1.4
将 u 乘以 1。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-u+u+1⋅-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.1.5
将 -1 乘以 1。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-u+u-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-u+u-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.2
将 -u 和 u 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2+0-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.6.3
将 u2 和 0 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-(u2-1)u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.7
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-u2+1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.13.8
将 -1 乘以 -1。
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-u2+1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=√u2-u2+1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.14
从 u2 中减去 u2。
f-1(cos(arccsc(u)))=√0+1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.15
将 0 和 1 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=√1u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.16
将 1 重写为 12。
f-1(cos(arccsc(u)))=√12u2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.17
将 12u2 重写为 (1u)2。
f-1(cos(arccsc(u)))=√(1u)2(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.4.18
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+cos(arccsc(u)))(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5
化简分母。
解题步骤 4.2.5.1
在平面中画出顶点为 (√u2-12,1)、(√u2-12,0) 和原点的三角形。则 arccsc(u) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (√u2-12,1) 的射线之间形成的一个角。因此,cos(arccsc(u)) 为 √u2-1u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+√u2-1u)(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5.2
化简分子。
解题步骤 4.2.5.2.1
将 1 重写为 12。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+√u2-12u)(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5.2.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=u 和 b=1。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(1+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5.3
将 1 写成具有公分母的分数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(uu+√(u+1)(u-1)u)(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5.4
在公分母上合并分子。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(1-cos(arccsc(u)))
解题步骤 4.2.5.5
在平面中画出顶点为 (√u2-12,1)、(√u2-12,0) 和原点的三角形。则 arccsc(u) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (√u2-12,1) 的射线之间形成的一个角。因此,cos(arccsc(u)) 为 √u2-1u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√u2-1u)
解题步骤 4.2.5.6
化简分子。
解题步骤 4.2.5.6.1
将 1 重写为 12。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√u2-12u)
解题步骤 4.2.5.6.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=u 和 b=1。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√(u+1)(u-1)u)
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(1-√(u+1)(u-1)u)
解题步骤 4.2.5.7
将 1 写成具有公分母的分数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅(uu-√(u+1)(u-1)u)
解题步骤 4.2.5.8
在公分母上合并分子。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅u-√(u+1)(u-1)u
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu+√(u+1)(u-1)u⋅u-√(u+1)(u-1)u
解题步骤 4.2.6
将 u+√(u+1)(u-1)u 乘以 u-√(u+1)(u-1)u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u⋅u
解题步骤 4.2.7
化简分母。
解题步骤 4.2.7.1
使用幂法则 aman=am+n 合并指数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u1+1
解题步骤 4.2.7.2
将 1 和 1 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1u(u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8
化简分母。
解题步骤 4.2.8.1
使用 FOIL 方法展开 (u+√(u+1)(u-1))(u-√(u+1)(u-1))。
解题步骤 4.2.8.1.1
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu(u-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)(u-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.1.2
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)(u-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.1.3
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.2
合并 u⋅u+u(-√(u+1)(u-1))+√(u+1)(u-1)u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1)) 中相反的项。
解题步骤 4.2.8.2.1
按照 u(-√(u+1)(u-1)) 和 √(u+1)(u-1)u 重新排列因数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u-u√(u+1)(u-1)+u√(u+1)(u-1)+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.2.2
将 -u√(u+1)(u-1) 和 u√(u+1)(u-1) 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+0+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.2.3
将 u⋅u 和 0 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu⋅u+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3
化简每一项。
解题步骤 4.2.8.3.1
将 u 乘以 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2+√(u+1)(u-1)(-√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.2
使用乘法的交换性质重写。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.3
乘以 -√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.8.3.3.1
对 √(u+1)(u-1) 进行 1 次方运算。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.3.2
对 √(u+1)(u-1) 进行 1 次方运算。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(√(u+1)(u-1)√(u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.3.3
使用幂法则 aman=am+n 合并指数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-√(u+1)(u-1)1+1u2
解题步骤 4.2.8.3.3.4
将 1 和 1 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-√(u+1)(u-1)2u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-√(u+1)(u-1)2u2
解题步骤 4.2.8.3.4
将 √(u+1)(u-1)2 重写为 (u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.8.3.4.1
使用 n√ax=axn,将√(u+1)(u-1) 重写成 ((u+1)(u-1))12。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(((u+1)(u-1))12)2u2
解题步骤 4.2.8.3.4.2
运用幂法则并将指数相乘,(am)n=amn。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))12⋅2u2
解题步骤 4.2.8.3.4.3
组合 12 和 2。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))22u2
解题步骤 4.2.8.3.4.4
约去 2 的公因数。
解题步骤 4.2.8.3.4.4.1
约去公因数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))22u2
解题步骤 4.2.8.3.4.4.2
重写表达式。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.4.5
化简。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-((u+1)(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.5
使用 FOIL 方法展开 (u+1)(u-1)。
解题步骤 4.2.8.3.5.1
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u(u-1)+1(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.5.2
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u⋅u+u⋅-1+1(u-1))u2
解题步骤 4.2.8.3.5.3
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u⋅u+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u⋅u+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6
化简并合并同类项。
解题步骤 4.2.8.3.6.1
化简每一项。
解题步骤 4.2.8.3.6.1.1
将 u 乘以 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2+u⋅-1+1u+1⋅-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.1.2
将 -1 移到 u 的左侧。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-1⋅u+1u+1⋅-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.1.3
将 -1u 重写为 -u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-u+1u+1⋅-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.1.4
将 u 乘以 1。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-u+u+1⋅-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.1.5
将 -1 乘以 1。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-u+u-1)u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-u+u-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.2
将 -u 和 u 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2+0-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.6.3
将 u2 和 0 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-1)u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-(u2-1)u2
解题步骤 4.2.8.3.7
运用分配律。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-u2+1u2
解题步骤 4.2.8.3.8
将 -1 乘以 -1。
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-u2+1u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1uu2-u2+1u2
解题步骤 4.2.8.4
从 u2 中减去 u2。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u0+1u2
解题步骤 4.2.8.5
将 0 和 1 相加。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u1u2
f-1(cos(arccsc(u)))=1u1u2
解题步骤 4.2.9
将分子乘以分母的倒数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u⋅u2
解题步骤 4.2.10
约去 u 的公因数。
解题步骤 4.2.10.1
从 u2 中分解出因数 u。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u⋅(u⋅u)
解题步骤 4.2.10.2
约去公因数。
f-1(cos(arccsc(u)))=1u⋅(u⋅u)
解题步骤 4.2.10.3
重写表达式。
f-1(cos(arccsc(u)))=u
f-1(cos(arccsc(u)))=u
f-1(cos(arccsc(u)))=u
解题步骤 4.3
计算 f(f-1(u))。
解题步骤 4.3.1
建立复合结果函数。
f(f-1(u))
解题步骤 4.3.2
通过将 f-1 的值代入 f 来计算 f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=cos(arccsc(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)))
解题步骤 4.3.3
在平面中画出顶点为 (√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-12,1)、(√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-12,0) 和原点的三角形。则 arccsc(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)) 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 (√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-12,1) 的射线之间形成的一个角。因此,cos(arccsc(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))) 为 √(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-1√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-1√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)
解题步骤 4.3.4
将分子乘以分母的倒数。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-1((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.5
将 1 重写为 12。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))2-12((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.6
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 进行因式分解,其中 a=√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u) 和 b=1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)+1)(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7
化简。
解题步骤 4.3.7.1
将 1 写成具有公分母的分数。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)+(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.2
在公分母上合并分子。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√√(1+u)(1-u)+(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3
以因式分解的形式重写 √(1+u)(1-u)+(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)。
解题步骤 4.3.7.3.1
使用 n√ax=axn,将√(1+u)(1-u) 重写成 ((1+u)(1-u))12。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√((1+u)(1-u))12+(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.2
将 (1+u)(1-u) 重写为 (((1+u)(1-u))12)2。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√((1+u)(1-u))12+(((1+u)(1-u))12)2(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.3
使 u=((1+u)(1-u))12。用 u 代入替换所有出现的 ((1+u)(1-u))12。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u+u2(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.4
从 u+u2 中分解出因数 u。
解题步骤 4.3.7.3.4.1
对 u 进行 1 次方运算。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u+u2(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.4.2
从 u1 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u⋅1+u2(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.4.3
从 u2 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u⋅1+u⋅u(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.4.4
从 u⋅1+u⋅u 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u(1+u)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√u(1+u)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.5
使用 ((1+u)(1-u))12 替换所有出现的 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√((1+u)(1-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6
化简。
解题步骤 4.3.7.3.6.1
使用 FOIL 方法展开 (1+u)(1-u)。
解题步骤 4.3.7.3.6.1.1
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1(1-u)+u(1-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.1.2
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1⋅1+1(-u)+u(1-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.1.3
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1⋅1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1⋅1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2
化简并合并同类项。
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.1
将 1 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.2
将 -u 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u⋅1+u(-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.3
将 u 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u+u(-u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.4
使用乘法的交换性质重写。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u-u⋅u)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.5
通过指数相加将 u 乘以 u。
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.5.1
移动 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u-(u⋅u))12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.1.5.2
将 u 乘以 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u+u-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.2
将 -u 和 u 相加。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1+0-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.2.3
将 1 和 0 相加。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.3.6.3.1
使用 FOIL 方法展开 (1+u)(1-u)。
解题步骤 4.3.7.3.6.3.1.1
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1(1-u)+u(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.1.2
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1⋅1+1(-u)+u(1-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.1.3
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1⋅1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1⋅1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2
化简并合并同类项。
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.1
将 1 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1+1(-u)+u⋅1+u(-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.2
将 -u 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u⋅1+u(-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.3
将 u 乘以 1。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u+u(-u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.4
使用乘法的交换性质重写。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u-u⋅u)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.5
通过指数相加将 u 乘以 u。
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.5.1
移动 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u-(u⋅u))12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.1.5.2
将 u 乘以 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u+u-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.2
将 -u 和 u 相加。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1+0-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.3.6.3.2.3
将 1 和 0 相加。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.4
要将 -1 写成带有公分母的分数,请乘以 (1+u)(1-u)(1+u)(1-u)。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)-1⋅(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.5
组合 -1 和 (1+u)(1-u)(1+u)(1-u)。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u)+-((1+u)(1-u))(1+u)(1-u))((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.6
在公分母上合并分子。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅√(1+u)(1-u)-((1+u)(1-u))(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7
以因式分解的形式重写 √(1+u)(1-u)-((1+u)(1-u))(1+u)(1-u)。
解题步骤 4.3.7.7.1
使用 n√ax=axn,将√(1+u)(1-u) 重写成 ((1+u)(1-u))12。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅((1+u)(1-u))12-((1+u)(1-u))(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.2
将 (1+u)(1-u) 重写为 (((1+u)(1-u))12)2。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅((1+u)(1-u))12-(((1+u)(1-u))12)2(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.3
使 u=((1+u)(1-u))12。用 u 代入替换所有出现的 ((1+u)(1-u))12。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u-u2(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.4
从 u-u2 中分解出因数 u。
解题步骤 4.3.7.7.4.1
对 u 进行 1 次方运算。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u-u2(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.4.2
从 u1 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u⋅1-u2(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.4.3
从 -u2 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u⋅1+u(-u)(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.4.4
从 u⋅1+u(-u) 中分解出因数 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u(1-u)(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅u(1-u)(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.5
使用 ((1+u)(1-u))12 替换所有出现的 u。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅((1+u)(1-u))12(1-((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.6
化简。
解题步骤 4.3.7.7.6.1
使用 FOIL 方法展开 (1+u)(1-u)。
解题步骤 4.3.7.7.6.1.1
运用分配律。
f(√(1+u)(1-u)(1+u)(1-u))=√(1-u2)12(1+(1-u2)12)(1+u)(1-u)⋅(1(1-u)+u(1-u))12(1-((1+u)(1-u))12)(1+u)(1-u)((1+u)(1-u)√(1+u)(1-u))
解题步骤 4.3.7.7.6.1.2
运用分配律。
解题步骤 4.3.7.7.6.1.3
运用分配律。
解题步骤 4.3.7.7.6.2
化简并合并同类项。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.1
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.4
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.5
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.5.1
移动 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.2
将 和 相加。
解题步骤 4.3.7.7.6.2.3
将 和 相加。
解题步骤 4.3.7.7.6.3
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.1
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.1.1
运用分配律。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.1.2
运用分配律。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.1.3
运用分配律。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2
化简并合并同类项。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1
化简每一项。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.1
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.4
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.5
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.5.1
移动 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.2
将 和 相加。
解题步骤 4.3.7.7.6.3.2.3
将 和 相加。
解题步骤 4.3.8
将 乘以 。
解题步骤 4.3.9
合并指数。
解题步骤 4.3.9.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 4.3.9.1.1
移动 。
解题步骤 4.3.9.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.3.9.1.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.3.9.1.4
将 和 相加。
解题步骤 4.3.9.1.5
用 除以 。
解题步骤 4.3.9.2
化简 。
解题步骤 4.3.10
合并指数。
解题步骤 4.3.10.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.10.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.10.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.3.10.4
将 和 相加。
解题步骤 4.3.10.5
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.10.6
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.10.7
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.3.10.8
将 和 相加。
解题步骤 4.3.11
化简分子。
解题步骤 4.3.11.1
将 重写为 。
解题步骤 4.3.11.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中 和 。
解题步骤 4.3.12
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.3.13
约去公因数。
解题步骤 4.3.13.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.3.13.2
约去公因数。
解题步骤 4.3.13.3
重写表达式。
解题步骤 4.3.14
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.3.15
约去公因数。
解题步骤 4.3.15.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.3.15.2
约去公因数。
解题步骤 4.3.15.3
重写表达式。
解题步骤 4.3.16
将 重写为 。
解题步骤 4.3.17
合并。
解题步骤 4.3.18
化简分母。
解题步骤 4.3.18.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.18.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.3.18.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.3.18.4
将 和 相加。
解题步骤 4.3.19
化简分母。
解题步骤 4.3.19.1
将 重写为 。
解题步骤 4.3.19.1.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 4.3.19.1.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 4.3.19.1.3
组合 和 。
解题步骤 4.3.19.1.4
约去 的公因数。
解题步骤 4.3.19.1.4.1
约去公因数。
解题步骤 4.3.19.1.4.2
重写表达式。
解题步骤 4.3.19.1.5
化简。
解题步骤 4.3.19.2
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 4.3.19.2.1
运用分配律。
解题步骤 4.3.19.2.2
运用分配律。
解题步骤 4.3.19.2.3
运用分配律。
解题步骤 4.3.19.3
化简并合并同类项。
解题步骤 4.3.19.3.1
化简每一项。
解题步骤 4.3.19.3.1.1
将 乘以 。
解题步骤 4.3.19.3.1.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.19.3.1.3
将 乘以 。
解题步骤 4.3.19.3.1.4
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 4.3.19.3.1.5
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 4.3.19.3.1.5.1
移动 。
解题步骤 4.3.19.3.1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 4.3.19.3.2
将 和 相加。
解题步骤 4.3.19.3.3
将 和 相加。
解题步骤 4.3.19.4
将 重写为 。
解题步骤 4.3.19.5
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中 和 。
解题步骤 4.3.20
通过约去公因数来化简表达式。
解题步骤 4.3.20.1
约去公因数。
解题步骤 4.3.20.2
重写表达式。
解题步骤 4.3.20.3
约去公因数。
解题步骤 4.3.20.4
用 除以 。
解题步骤 4.4
由于 和 ,因此 为 的反函数。