三角学示例

$f (x) = {2.3}^{x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {2.3}^{x}$ 写为等式。

$y = {2.3}^{x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {2.3}^{y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${2.3}^{y} = x$ 。

${2.3}^{y} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({2.3}^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 3.3

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({2.3}^{y})$ 。

$y \ln (2.3) = \ln (x)$

解题步骤 3.4

将 $y \ln (2.3) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (2.3)$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $y \ln (2.3) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (2.3)$ 。

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $\ln (2.3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ 是否为 $f (x) = {2.3}^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot {2.3}^{x}$ 。

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{\ln ({2.3}^{x})}{\ln (2.3)}$

解题步骤 5.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({2.3}^{x})$ 。

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 5.2.4

约去 $\ln (2.3)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}}$

解题步骤 5.3.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\log_{2.3} (x)}$

解题步骤 5.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ 为 $f (x) = {2.3}^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

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