三角学示例

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ 写为等式。

$y = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arccos (y - 2)$ 。

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 3.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 3.2.2.2.2

重写表达式。

$\arccos (y - 2) = x \cdot 3$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arccos (y - 2) = 3 x$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $y$ 。

$y - 2 = \cos (3 x)$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \cos (3 x) + 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))) + 2$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arccos (x - 2)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

解题步骤 5.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (\arccos (x - 2)) + 2$

解题步骤 5.2.3.3

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x - 2 + 2$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\cos (3 x) + 2)$ 。

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos ((\cos (3 x) + 2) - 2)$

解题步骤 5.3.3

合并 $(\cos (3 x) + 2) - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x) + 0)$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\cos (3 x)$ 和 $0$ 相加。

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x))$

解题步骤 5.3.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arccos (\cos (3 x))$ 。

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ 为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$

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