三角学示例

$f (x) x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 1

交换变量。

$f = y (x) x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$ 。

$y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y (x^{2} x) + 2 x - 1 = f$

解题步骤 2.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y (x^{2} x^{1}) + 2 x - 1 = f$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y x^{2 + 1} + 2 x - 1 = f$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y x^{3} + 2 x - 1 = f$

解题步骤 2.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$y x^{3} - 1 = f - 2 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y x^{3} = f - 2 x + 1$

解题步骤 2.4

将 $y x^{3} = f - 2 x + 1$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $y x^{3} = f - 2 x + 1$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.1

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ 是否为 $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (f)) = f$ 和 $f (f^{- 1} (f)) = f$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (f))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (f))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1)$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.2.3

化简项。

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解题步骤 4.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

合并 $f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x + 0}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $f (x) \cdot x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $f (x) x^{2} + 2 x$ 中的因式重新排序。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x^{2} f (x) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $x^{2} f (x) + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.1

从 $x^{2} f (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.1.3

从 $x (x f (x)) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2 - 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5.2

合并 $x f (x) + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 0}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5.2.2

将 $x f (x)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.3.1

从 $x f (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.5.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x \cdot x}$

解题步骤 4.2.5.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x \cdot x}$

解题步骤 4.2.5.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x)}{x}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (f))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (f))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$ 。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{2 + 1} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.2

运用分配律。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.3.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1.1

约去公因数。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.1.2

重写表达式。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.2.1

将 $- \frac{2}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.2.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.2.3

约去公因数。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.2.4

重写表达式。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + 1 + 2 x - 1$

解题步骤 4.3.4

合并 $f - 2 x + 1 + 2 x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0 + 1 - 1$

解题步骤 4.3.4.2

将 $f$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 1 - 1$

解题步骤 4.3.4.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0$

解题步骤 4.3.4.4

将 $f$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (f)) = f$ 和 $f (f^{- 1} (f)) = f$ ，因此 $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ 为 $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

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