三角学示例

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

解题步骤 1

将 $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 写为等式。

$y = 3 e^{0.1 t}$

解题步骤 2

交换变量。

$t = 3 e^{0.1 y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 e^{0.1 y} = t$ 。

$3 e^{0.1 y} = t$

解题步骤 3.2

将 $3 e^{0.1 y} = t$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3 e^{0.1 y} = t$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $e^{0.1 y}$ 除以 $1$ 。

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $0.1 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{0.1 y})$ 。

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 3.4.3

将 $0.1$ 乘以 $1$ 。

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 3.5

将 $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ 中的每一项除以 $0.1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ 中的每一项都除以 $0.1$ 。

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $0.1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

解题步骤 3.5.3.2

从 $0.1$ 中分解出因数 $0.1$ 。

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

解题步骤 3.5.3.3

分离分数。

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

解题步骤 3.5.3.4

用 $1$ 除以 $0.1$ 。

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

解题步骤 3.5.3.5

用 $\ln (\frac{t}{3})$ 除以 $1$ 。

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ 是否为 $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (t)) = t$ 和 $f (f^{- 1} (t)) = t$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (t))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (t))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

解题步骤 5.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

解题步骤 5.2.3.2

用 $e^{0.1 t}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

解题步骤 5.2.4

使用对数规则把 $0.1 t$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

解题步骤 5.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

解题步骤 5.2.6

将 $0.1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

解题步骤 5.2.7

乘以 $10 (0.1 t)$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $0.1$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

解题步骤 5.2.7.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (t))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (t))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ 。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

解题步骤 5.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $10 \ln (\frac{t}{3})$ 。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

解题步骤 5.3.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ 。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

解题步骤 5.3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

解题步骤 5.3.6

将 ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $10$ 乘以 $0.1$ 。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

解题步骤 5.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (t)) = t$ 和 $f (f^{- 1} (t)) = t$ ，因此 $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ 为 $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 的反函数。

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

三角学 示例

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