三角学示例

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

解题步骤 1

将 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 写为等式。

$y = - 16 t^{2} + 220$

解题步骤 2

交换变量。

$t = - 16 y^{2} + 220$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 16 y^{2} + 220 = t$ 。

$- 16 y^{2} + 220 = t$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $220$ 。

$- 16 y^{2} = t - 220$

解题步骤 3.3

将 $- 16 y^{2} = t - 220$ 中的每一项除以 $- 16$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 16 y^{2} = t - 220$ 中的每一项都除以 $- 16$ 。

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去 $- 220$ 和 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $- 220$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将 $\frac{55}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 3.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $\frac{55}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

解题步骤 3.5.4

将 $55$ 乘以 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\frac{- t + 220}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ 。

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解题步骤 3.5.5.1

从 $- t + 220$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

解题步骤 3.5.5.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.5.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

解题步骤 3.5.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

解题步骤 3.5.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{- t + 220}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 是否为 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 和 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 220]$

解题步骤 5.3

求 $\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- t + 220}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- t + 220 \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $t$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从不等式两边同时减去 $220$ 。

$- t \geq - 220$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- t \geq - 220$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $- t \geq - 220$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

用 $- 220$ 除以 $- 1$ 。

$t \leq 220$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $t$ 。

$(- \infty, 220]$

解题步骤 5.4

求 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 的定义域为 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的值域，而 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 的值域又为 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ 为 $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ 的反函数。

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

解题步骤 6

三角学 示例

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