三角学示例

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

解题步骤 1

交换变量。

x = cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

解题步骤 2

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ 。

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ 。

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出

y

$y$ 。

\sqrt{\frac{2}{y}} = tan (arccot (x))

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

化简

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

将

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ 重写为

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2

将

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ 乘以

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1.3.1

将

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ 乘以

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.2

对

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.3

对

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6

将

{\sqrt{y}}^{2}

${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为

y

$y$ 。

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解题步骤 2.4.1.3.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ 重写成

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ 。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.3.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

在平面中画出顶点为

$(x, 1)$ 、

$(x, 0)$ 和原点的三角形。则

$arccot (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过

$(x, 1)$ 的射线之间形成的一个角。因此，

$\tan (arccot (x))$ 为

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.6

交叉相乘。

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解题步骤 2.6.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

将

$y$ 乘以

$1$ 。

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

将

$\sqrt{2 y}$ 乘以

$x$ 。

$y = \sqrt{2 y} x$

解题步骤 2.7

将方程重写为

$\sqrt{2 y} x = y$ 。

$\sqrt{2 y} x = y$

解题步骤 2.8

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9

化简方程的两边。

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解题步骤 2.9.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2 y}$ 重写成

${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2

化简左边。

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解题步骤 2.9.2.1

化简

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.9.2.1.1

对

$2 y$ 运用乘积法则。

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.2

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.9.2.1.2.1

对

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ 运用乘积法则。

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.2.2

对

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.3

将

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.3.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1.3.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.3.2.2

重写表达式。

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.4

计算指数。

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.5

将

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.5.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1.5.2.1

约去公因数。

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.5.2.2

重写表达式。

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.9.2.1.6

化简。

$2 y x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.10

求解

$y$ 。

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解题步骤 2.10.1

从等式两边同时减去

$y^{2}$ 。

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

解题步骤 2.10.2

从

$2 y x^{2} - y^{2}$ 中分解出因数

$y$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

从

$2 y x^{2}$ 中分解出因数

$y$ 。

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

解题步骤 2.10.2.2

从

$- y^{2}$ 中分解出因数

$y$ 。

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

解题步骤 2.10.2.3

从

$y (2 x^{2}) + y (- y)$ 中分解出因数

$y$ 。

$y (2 x^{2} - y) = 0$

解题步骤 2.10.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

解题步骤 2.10.4

将

$y$ 设为等于

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2.10.5

将

$2 x^{2} - y$ 设为等于

$0$ 并求解

$y$ 。

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解题步骤 2.10.5.1

将

$2 x^{2} - y$ 设为等于

$0$ 。

$2 x^{2} - y = 0$

解题步骤 2.10.5.2

求解

$y$ 的

$2 x^{2} - y = 0$ 。

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解题步骤 2.10.5.2.1

从等式两边同时减去

$2 x^{2}$ 。

$- y = - 2 x^{2}$

解题步骤 2.10.5.2.2

将

$- y = - 2 x^{2}$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.10.5.2.2.1

将

$- y = - 2 x^{2}$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.10.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.5.2.2.2.2

用

$y$ 除以

$1$ 。

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.10.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.10.5.2.2.3.1

移动

$\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

解题步骤 2.10.5.2.2.3.2

将

$- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ 重写为

$- (- 2 x^{2})$ 。

$y = - (- 2 x^{2})$

解题步骤 2.10.5.2.2.3.3

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$y = 2 x^{2}$

解题步骤 2.10.6

最终解为使

$y (2 x^{2} - y) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

解题步骤 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

解题步骤 4

验证

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ 是否为

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ 和

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求

$0$ 的定义域。

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解题步骤 4.2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.3

因为

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ 的定义域并不等于

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ 的值域，所以

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ 并非

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

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