三角学示例

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ 。

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ 。

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\frac{y}{\sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $\frac{y}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $\frac{y}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.4.1.2.6.5

计算指数。

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

在平面中画出顶点为 $(x, 1)$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $arccot (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, 1)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arccot (x))$ 为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.6

等式两边同时乘以 $\frac{3}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7

化简方程的两边。

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解题步骤 2.7.1

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.1

化简 $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.1.1.2

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1.2.1

从 $y \sqrt{3}$ 中分解出因数 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2

化简右边。

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解题步骤 2.7.2.1

化简 $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.7.2.1.1

将 $\frac{3}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.2.1.2.1

将 $\frac{3}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.7.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.2.6.5

计算指数。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.3.1

约去公因数。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

解题步骤 2.7.2.1.4

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 是否为 $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ 。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

解题步骤 4.2.3

分离分数。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

解题步骤 4.2.4

将 $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

解题步骤 4.2.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ 。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

解题步骤 4.2.6

将 $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ 转换成 $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ 。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 4.2.7

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 4.2.8

正切和余切互为反函数。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.2.9

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 4.3.3

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ 为 $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

解题步骤 4.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.3.7

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 为 $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

三角学 示例

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