三角学示例

$\cos (x - y)$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$x - y = \arccos (0)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x - y = \frac{π}{2}$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- y = \frac{π}{2} - x$

解题步骤 4

将 $- y = \frac{π}{2} - x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- y = \frac{π}{2} - x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

移动 $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ 重写为 $- \frac{π}{2}$ 。

$y = - \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \frac{π}{2} + \frac{x}{1}$

解题步骤 4.3.1.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{π}{2} + x$

解题步骤 5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x - y = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x - y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.1.2

合并分数。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x - y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x - y = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x - y = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- y = \frac{3 π}{2} - x$

解题步骤 6.3

将 $- y = \frac{3 π}{2} - x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- y = \frac{3 π}{2} - x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 6.3.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1.1

移动 $\frac{\frac{3 π}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{3 π}{2}$ 重写为 $- \frac{3 π}{2}$ 。

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{x}{1}$

解题步骤 6.3.3.1.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{3 π}{2} + x$

解题步骤 7

交换变量。

$x = - \frac{3 π}{2} + y$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $- \frac{3 π}{2} + y = x$ 。

$- \frac{3 π}{2} + y = x$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $\frac{3 π}{2}$ 。

$y = x + \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10

验证 $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ 是否为 $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ 的反函数。

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解题步骤 10.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 10.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 10.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 10.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = (- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.2.3

合并 $(- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 10.2.3.1

将 $- \frac{3 π}{2}$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x + 0$

解题步骤 10.2.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x$

解题步骤 10.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 10.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 10.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x + \frac{3 π}{2})$ 。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.3.3

去掉圆括号。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.3.4

合并 $- \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 10.3.4.1

将 $- \frac{3 π}{2}$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 相加。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x + 0$

解题步骤 10.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x$

解题步骤 10.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ 为 $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

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