三角学示例

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ 。

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

解题步骤 2.2

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 2.3

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

解题步骤 2.4

取逆正切来求解方程 $θ$ 。

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解题步骤 2.4.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$θ = \arctan (- 1)$

解题步骤 2.4.2

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$θ = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 2.5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

一的任意次幂都为一。

$R = \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 2.5.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$R = \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

解题步骤 2.7

将 $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ 中的每一项除以 $\sqrt{2}$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ 中的每一项都除以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.2

用 $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.3.2.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.7.3.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.7.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.7.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.7.3.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.7.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.7.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.7.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.8

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.9

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.10

将 $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.10.1

将 $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 2.10.2

化简左边。

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解题步骤 2.10.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 2.10.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

解题步骤 2.10.3

化简右边。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.10.3.1.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ 是否为 $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ 。

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ 中的因式重新排序。

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 4.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.4

运用分配律。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

解题步骤 4.3.3.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.6.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

解题步骤 4.3.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

解题步骤 4.3.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ 为 $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

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