三角学示例

$\cos (30 - x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos (30 - y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos (30 - y) = x$ 。

$\cos (30 - y) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$30 - y = \arccos (x)$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $30$ 。

$- y = \arccos (x) - 30$

解题步骤 2.4

将 $- y = \arccos (x) - 30$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- y = \arccos (x) - 30$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (x)}{- 1} + \frac{- 30}{- 1}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.1

移动 $\frac{\arccos (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \arccos (x) + \frac{- 30}{- 1}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arccos (x)$ 重写为 $- \arccos (x)$ 。

$y = - \arccos (x) + \frac{- 30}{- 1}$

解题步骤 2.4.3.1.3

用 $- 30$ 除以 $- 1$ 。

$y = - \arccos (x) + 30$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$ 是否为 $f (x) = \cos (30 - x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (30 - x))$ 。

$f^{- 1} (\cos (30 - x)) = - \arccos (\cos (30 - x)) + 30$

解题步骤 4.2.3

将 $30$ 和 $- x$ 重新排序。

$f^{- 1} (\cos (30 - x)) = - \arccos (\cos (- x + 30)) + 30$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \arccos (x) + 30)$ 。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 - (- \arccos (x) + 30))$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

解题步骤 4.3.3.2

乘以 $- - \arccos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + 1 \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $\arccos (x)$ 乘以 $1$ 。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 1 \cdot 30)$

解题步骤 4.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $30$ 。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (30 + \arccos (x) - 30)$

解题步骤 4.3.4

合并 $30 + \arccos (x) - 30$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (0 + \arccos (x))$

解题步骤 4.3.4.2

将 $0$ 和 $\arccos (x)$ 相加。

$f (- \arccos (x) + 30) = \cos (\arccos (x))$

解题步骤 4.3.5

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (- \arccos (x) + 30) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$ 为 $f (x) = \cos (30 - x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \arccos (x) + 30$

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