三角学示例

$f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$

解题步骤 1

将 $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ 写为等式。

$y = - \frac{5}{2} x + 10$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \frac{5}{2} y + 10$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \frac{5}{2} y + 10 = x$ 。

$- \frac{5}{2} y + 10 = x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$- \frac{y \cdot 5}{2} + 10 = x$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{5 y}{2} + 10 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $10$ 。

$- \frac{5 y}{2} = x - 10$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $- \frac{2}{5}$ 。

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

化简 $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1.1

将 $- \frac{2}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.1.2

将 $- \frac{5 y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.1.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

从 $- 5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 3.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $- \frac{2}{5} (x - 10)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

化简项。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 10$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 10$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.3.1

将 $- \frac{2}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 10$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 2))$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 2$

解题步骤 3.5.2.1.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 4$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ 是否为 $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5}{2} x + 10)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{x \cdot 5}{2} + 10)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5 \cdot x}{2} + 10)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $- \frac{5 x}{2} + 10$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1

从 $- \frac{5 x}{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 10)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2))}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.3.3

从 $5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 \cdot (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.6

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 4}{2})}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $10$ 和 $\frac{- x + 4}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{10 (- x + 4)}{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{10 (- x + 4)}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

从 $10 (- x + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 (1)}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 \cdot 1}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.3.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{5 (- x + 4)}{1}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.3.2

用 $5 (- x + 4)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.4.2

用 $- x + 4$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - (- x + 4) + 4$

解题步骤 5.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

解题步骤 5.2.3.6

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = 1 x - 1 \cdot 4 + 4$

解题步骤 5.2.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

解题步骤 5.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 4 + 4$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 4 + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{2 x}{5} + 4)$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5} + 4) + 10$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $- \frac{2 x}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.2.5

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - 1 (- x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = 1 x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot 4 + 10$

解题步骤 5.3.3.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (2)) + 10$

解题步骤 5.3.3.6.3

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 10$

解题步骤 5.3.3.6.4

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 5 \cdot 2 + 10$

解题步骤 5.3.3.7

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 10 + 10$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 10 + 10$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ 为 $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$

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