三角学示例

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ 写为等式。

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ 。

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

解题步骤 3.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y - 2, 1, 1$

解题步骤 3.3.2

去掉圆括号。

$y - 2, 1, 1$

解题步骤 3.3.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y - 2$

解题步骤 3.4

将 $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ 中的每一项乘以 $y - 2$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ 中的每一项乘以 $y - 2$ 。

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

约去 $y - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1.1

运用分配律。

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

解题步骤 3.4.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

解题步骤 3.4.3.1.3

运用分配律。

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

解题步骤 3.4.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$4 = x y - 2 x - y + 2$

解题步骤 3.5

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $x y - 2 x - y + 2 = 4$ 。

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

解题步骤 3.5.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

解题步骤 3.5.2.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$x y - y = 2 x + 2$

解题步骤 3.5.3

从 $x y - y$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x - y = 2 x + 2$

解题步骤 3.5.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

解题步骤 3.5.3.3

从 $y x + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 1) = 2 x + 2$

解题步骤 3.5.4

将 $y (x - 1) = 2 x + 2$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.1

将 $y (x - 1) = 2 x + 2$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.3.2

从 $2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.3.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

解题步骤 3.5.4.3.2.3

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.5

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.6

以因式分解的形式重写 $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.6.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.6.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.6.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.3.6.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

解题步骤 5.2.4.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

解题步骤 5.2.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.6

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.7.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7.5

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.7.6

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{2 x}{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

解题步骤 5.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

解题步骤 5.2.8

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.8.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

解题步骤 5.2.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

解题步骤 5.2.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.9

约去 $x - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

约去 $4$ 和 $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

从 $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2.4

约去公因数。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

解题步骤 5.3.3.1.2.5

重写表达式。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

解题步骤 5.3.3.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

解题步骤 5.3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ 为 $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

三角学 示例

三角学示例