三角学示例

$f (x) = \sqrt{6 x - 9}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ 写为等式。

$y = \sqrt{6 x - 9}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{6 y - 9}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{6 y - 9} = x$ 。

$\sqrt{6 y - 9} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{6 y - 9}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 y - 9}$ 重写成 ${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(6 y - 9)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$6 y - 9 = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$6 y = x^{2} + 9$

解题步骤 3.4.2

将 $6 y = x^{2} + 9$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $6 y = x^{2} + 9$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (3)}{6}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 9})}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $6 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 9}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 3)}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

从 $3 (2 x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 3)}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 ${\sqrt{3 (2 x - 3)}}^{2}$ 重写为 $3 (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 (2 x - 3)}$ 重写成 ${(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{({(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 3}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{6 x - 9}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.6

从 $6 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.6.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) - 9}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.6.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.6.3

从 $3 (2 x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x - 3}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简项。

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解题步骤 5.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并 $2 x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 9}$

解题步骤 5.3.3

从 $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) - 9}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) + 3 (- 3)}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.4

运用分配律。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.5.3

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 3 - 3)}$

解题步骤 5.3.7

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

解题步骤 5.3.7.2

将 $\frac{x^{2}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

解题步骤 5.3.8

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{3}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.3.9

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.9.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{3 x^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 5.3.9.1.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

解题步骤 5.3.9.1.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

解题步骤 5.3.9.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$ 为 $f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

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