三角学示例

$\sin (\frac{π}{2} - x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sin (\frac{π}{2} - y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sin (\frac{π}{2} - y) = x$ 。

$\sin (\frac{π}{2} - y) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$\frac{π}{2} - y = \arcsin (x)$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

将 $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.1

移动 $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arcsin (x)$ 重写为 $- \arcsin (x)$ 。

$y = - \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 2.4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \arcsin (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

解题步骤 2.4.3.1.4

用 $\frac{π}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ 是否为 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x))$ 。

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) + \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{π}{2}$ 和 $- x$ 重新排序。

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (- x + \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2})$ 。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} - (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}))$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

解题步骤 4.3.3.2

乘以 $- - \arcsin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + 1 \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $\arcsin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

解题步骤 4.3.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.4.1

合并 $\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1.1

在公分母上合并分子。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π - π}{2} + \arcsin (x))$

解题步骤 4.3.4.1.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{0}{2} + \arcsin (x))$

解题步骤 4.3.4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.2.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (0 + \arcsin (x))$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $0$ 和 $\arcsin (x)$ 相加。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.3.5

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ 为 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

三角学 示例

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