三角学示例

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ 。

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

化简 $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

从 $2 y + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.1.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.1.1.3

从 $2 y + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (y + 2)}$ 重写成 ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简 ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

运用分配律。

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.3

乘。

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解题步骤 2.4.2.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.3.2

化简。

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简 ${(3 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

解题步骤 2.4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$2 y = 9 x^{2} - 4$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2 y = 9 x^{2} - 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $2 y = 9 x^{2} - 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 2.4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 2.4.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 2.4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.2.1

对 $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1

将 ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ 重写为 $2 (x + 2)$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (x + 2)}$ 重写成 ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.1.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.4

从 $2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.2.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.2.4.3

从 $2 x + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.3

组合 $9$ 和 $\frac{2 (x + 2)}{9}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.5.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{18 (x + 2)}{9}$ 。

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解题步骤 4.2.3.5.1.1

从 $18 (x + 2)$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.5.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.5.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.5.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.5.2

用 $2 (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

解题步骤 4.2.3.6.2

用 $x + 2$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

解题步骤 4.2.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

解题步骤 4.3.3.1.2

从 $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

解题步骤 4.3.3.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

解题步骤 4.3.3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

解题步骤 4.3.3.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

解题步骤 4.3.3.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.8

重新排序项。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.9

以因式分解的形式重写 $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.9.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.9.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.9.4

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

解题步骤 4.3.3.10

组合 $2$ 和 $\frac{9 x^{2}}{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.11

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.12

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.12.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{18 x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.12.1.1

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.12.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.12.1.3

约去公因数。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.12.1.4

重写表达式。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.12.2

用 $9 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.13

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

解题步骤 4.3.3.14

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ 为 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

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