三角学示例

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

解题步骤 1

将 $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ 写为等式。

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ 。

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ 重写成 ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

解题步骤 3.4.2

将 $2 y^{2} = x^{2} - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2 y^{2} = x^{2} - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

将 $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.4.1

将 $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.4.4.5

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.4.4.6

将 $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

解题步骤 3.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

解题步骤 3.4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。