三角学示例

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

解题步骤 1

将 $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ 写为等式。

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ 。

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

解题步骤 3.3

将 $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $\log_{5} (y - 6)$ 除以 $1$ 。

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ 。

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

解题步骤 4

使用 $h^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

解题步骤 5

验证 $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ 是否为 $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $h^{- 1} (h (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$h^{- 1} (h (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $h$ 的值代入 $h^{- 1}$ 来计算 $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ 。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

在公分母上合并分子。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.2

合并 $4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $4 \log_{5} (x - 6)$ 和 $0$ 相加。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \log_{5} (x - 6)$ 。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.4

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ 。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1

约去公因数。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

解题步骤 5.2.3.5.2

用 $\log_{5} (x - 6)$ 除以 $1$ 。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

解题步骤 5.2.3.6

指数函数和对数函数互为反函数。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $h (h^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$h (h^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $h^{- 1}$ 的值代入 $h$ 来计算 $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ 。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

解题步骤 5.3.3

合并 $4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

解题步骤 5.3.3.2

将 $5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ 和 $0$ 相加。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用对数规则把 $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ 移到指数外部。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

解题步骤 5.3.4.2

$5$ 的对数底 $5$ 的值为 $1$ 。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

解题步骤 5.3.4.3

将 $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.4

运用分配律。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.5.1

约去公因数。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.5.2

重写表达式。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.6.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.6.2

约去公因数。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

解题步骤 5.3.4.6.3

重写表达式。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

解题步骤 5.4

由于 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ 为 $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ 的反函数。

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

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