三角学示例

$g (x) = - 4 x^{2} - 8$

解题步骤 1

将 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 写为等式。

$y = - 4 x^{2} - 8$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 4 y^{2} - 8$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 4 y^{2} - 8 = x$ 。

$- 4 y^{2} - 8 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$- 4 y^{2} = x + 8$

解题步骤 3.3

将 $- 4 y^{2} = x + 8$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 4 y^{2} = x + 8$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{8}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2

用 $8$ 除以 $- 4$ 。

$y^{2} = - \frac{x}{4} - 2$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

从 $- \frac{x}{4} - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $- \frac{x}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 2}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 1 (2)}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $- (\frac{x}{4}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2)}$

解题步骤 3.5.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})}$

解题步骤 3.5.3

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})}$

解题步骤 3.5.4

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 2 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.5.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 8}{4}}$

解题步骤 3.5.6

将 $- \frac{x + 8}{4}$ 重写为 ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

从 $x + 8$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{4}}$

解题步骤 3.5.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.5.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x + 8))}$

解题步骤 3.5.6.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

解题步骤 3.5.6.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

解题步骤 3.5.6.6

添加圆括号。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))}$

解题步骤 3.5.7

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

解题步骤 3.5.8

一的任意次幂都为一。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

解题步骤 3.5.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{- (x + 8)}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 5

验证 $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 是否为 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 和 $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 8]$

解题步骤 5.3

求 $\frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- (x + 8)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- (x + 8) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 $- (x + 8)$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

运用分配律。

$- x - 1 \cdot 8 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- x - 8 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.2

在不等式两边同时加上 $8$ 。

$- x \geq 8$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- x \geq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- x \geq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.3.1

用 $8$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq - 8$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 8]$

解题步骤 5.4

求 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 的定义域为 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的值域，而 $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 的值域又为 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的定义域，因此 $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ 为 $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ 的反函数。

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

解题步骤 6

三角学 示例

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