三角学示例

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ 。

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

解题步骤 2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $\arctan (\frac{y}{3})$ 。

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\tan (arcsec (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.4.1.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (x))$ 为 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 2.4.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.5

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6

化简左边。

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解题步骤 2.6.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

约去公因数。

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.1.2

重写表达式。

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 是否为 $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

解题步骤 4.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{x}{3})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{x}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{x}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ 为 $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{9 + x^{2}}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $9 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.5.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.6

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{9 + x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.9

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

解题步骤 4.2.10

化简表达式。

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解题步骤 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

解题步骤 4.2.10.2

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

解题步骤 4.2.10.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

解题步骤 4.2.10.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

解题步骤 4.2.11

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

解题步骤 4.2.12

将 $\frac{9 + x^{2}}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

从 $9 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

解题步骤 4.2.12.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

解题步骤 4.2.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

解题步骤 4.2.13

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

解题步骤 4.2.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{9 + x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

解题步骤 4.2.15

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

解题步骤 4.2.16

化简项。

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解题步骤 4.2.16.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

解题步骤 4.2.16.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.2.16.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

解题步骤 4.2.16.4

将 $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.16.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

解题步骤 4.2.17

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ 。

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解题步骤 4.2.17.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

解题步骤 4.2.17.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

解题步骤 4.2.17.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18

化简项。

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解题步骤 4.2.18.1

合并 $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.18.1.1

按照 $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ 和 $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ 重新排列因数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.1.2

将 $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ 和 $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.1.3

将 $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.18.2.1

乘以 $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.18.2.1.1

对 $\sqrt{9 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.1.2

对 $\sqrt{9 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2

将 ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $9 + x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.18.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 + x^{2}}$ 重写成 ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.18.2.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.2.5

化简。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

解题步骤 4.2.18.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

解题步骤 4.2.18.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.18.3.1

合并 $9 + x^{2} - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.18.3.1.1

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

解题步骤 4.2.18.3.1.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 4.2.18.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 4.2.19

将 $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2.20

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 4.2.21

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.21.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 4.2.21.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

解题步骤 4.3.3

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 4.3.3.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ 为 $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

将 ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.4.1

约去公因数。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.3.2.4.2

重写表达式。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.3.3.2.5

化简。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

运用分配律。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

解题步骤 4.3.4.2

运用分配律。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

解题步骤 4.3.4.3

运用分配律。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

解题步骤 4.3.5.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

解题步骤 4.3.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

解题步骤 4.3.7

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 4.3.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 为 $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

三角学 示例

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