三角学示例

$\sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sec (\arcsin (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sec (\arcsin (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})) = x$ 。

$\sec (\arcsin (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})) = x$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}, \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}, \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arcsin (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}} = x$

解题步骤 2.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}^{2}}} = x$

解题步骤 2.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}) (1 - \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}) (1 - \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.3

将 $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}}))}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.2.3.4.1

将 $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49} \sqrt{y^{2} + 49}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.2

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} \sqrt{y^{2} + 49}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.3

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 49}}^{1}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1 + 1}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6

将 ${\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}$ 重写为 $y^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 重写成 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{({(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{1}})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.4.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (1 - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} (\frac{y^{2} + 49}{y^{2} + 49} - \frac{y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.4

将 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}} \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.2.5.1

将 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49} + y}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{\sqrt{y^{2} + 49} \sqrt{y^{2} + 49}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.2

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} \sqrt{y^{2} + 49}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.3

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 49}}^{1}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1 + 1}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6

将 ${\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}$ 重写为 $y^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.2.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 重写成 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{({(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{{(y^{2} + 49)}^{1}} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.5.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{y^{2} + 49} + y) \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.6

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{y^{2} + 49} \sqrt{y^{2} + 49} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.7

乘以 $\sqrt{y^{2} + 49} \sqrt{y^{2} + 49}$ 。

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解题步骤 2.2.2.7.1

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} \sqrt{y^{2} + 49} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.7.2

对 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 49}}^{1} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{1 + 1} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{y^{2} + 49}}^{2} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8

将 ${\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}$ 重写为 $y^{2} + 49$ 。

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解题步骤 2.2.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 重写成 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{({(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.8.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(y^{2} + 49)}^{1} + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.8.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}}} = x$

解题步骤 2.2.2.9

将 $\frac{y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}$ 乘以 $\frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49) (y^{2} + 49)}}} = x$

解题步骤 2.2.2.10

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.10.1

对 $y^{2} + 49$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{{(y^{2} + 49)}^{1} (y^{2} + 49)}}} = x$

解题步骤 2.2.2.10.2

对 $y^{2} + 49$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{{(y^{2} + 49)}^{1} {(y^{2} + 49)}^{1}}}} = x$

解题步骤 2.2.2.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{{(y^{2} + 49)}^{1 + 1}}}} = x$

解题步骤 2.2.2.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{{(y^{2} + 49)}^{2}}}} = x$

解题步骤 2.2.2.11

将 $\frac{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{{(y^{2} + 49)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{y^{2} + 49})}^{2} ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))$ 。

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解题步骤 2.2.2.11.1

从 $(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}{{(y^{2} + 49)}^{2}}}} = x$

解题步骤 2.2.2.11.2

从 ${(y^{2} + 49)}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 ${(y^{2} + 49)}^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}{{(y^{2} + 49)}^{2} \cdot 1}}} = x$

解题步骤 2.2.2.11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}{{(y^{2} + 49)}^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{y^{2} + 49})}^{2} ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}} = x$

解题步骤 2.2.2.12

从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2} + 49} \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.2.13

组合 $\frac{1}{y^{2} + 49}$ 和 $\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{y^{2} + 49}} = x$

解题步骤 2.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{y^{2} + 49}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{y^{2} + 49}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} + 49}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{y^{2} + 49}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}$ 。

$\frac{y^{2} + 49}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} \cdot \frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.6

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.6.1

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.6.2

对 $\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{1} \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}} = x$

解题步骤 2.2.6.3

对 $\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{1} {\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{1}} = x$

解题步骤 2.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{1 + 1}} = x$

解题步骤 2.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{2}} = x$

解题步骤 2.2.6.6

将 ${\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}^{2}$ 重写为 $(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})$ 。

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解题步骤 2.2.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}$ 重写成 ${((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{({((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = x$

解题步骤 2.2.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = x$

解题步骤 2.2.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{\frac{2}{2}}} = x$

解题步骤 2.2.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{\frac{2}{2}}} = x$

解题步骤 2.2.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{{((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))}^{1}} = x$

解题步骤 2.2.6.6.5

化简。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} = x$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}$ 乘以 $\frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} \cdot \frac{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}}{y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}} = x$

解题步骤 2.2.8

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} = x$

解题步骤 2.2.9

移动 $y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) ((y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}))} = x$

解题步骤 2.2.10

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{4} + y^{2} \cdot 49 + y^{3} (- \sqrt{y^{2} + 49}) + 49 y^{2} + 2401 - 49 (y \sqrt{y^{2} + 49}) + y^{3} \sqrt{y^{2} + 49} + y \sqrt{y^{2} + 49} \cdot 49 + y^{2} (- {\sqrt{y^{2} + 49}}^{2}))} = x$

解题步骤 2.2.11

化简。

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解题步骤 2.2.11.1

从 $y^{4}$ 中减去 $y^{4}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 + 0 - 49 y^{2})} = x$

解题步骤 2.2.11.2

将 $49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401$ 和 $0$ 相加。

解题步骤 2.2.11.3

从 $49 y^{2}$ 中减去 $49 y^{2}$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (49 y^{2} + 2401 + 0)} = x$

解题步骤 2.2.11.4

将 $49 y^{2} + 2401$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (49 y^{2} + 2401)} = x$

解题步骤 2.2.12

约去 $y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.12.1

约去公因数。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})} (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}{(y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49}) (49 y^{2} + 2401)} = x$

解题步骤 2.2.12.2

重写表达式。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49 y^{2} + 2401} = x$

解题步骤 2.2.13

从 $49 y^{2} + 2401$ 中分解出因数 $49$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

从 $49 y^{2}$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49 (y^{2}) + 2401} = x$

解题步骤 2.2.13.2

从 $2401$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49 y^{2} + 49 \cdot 49} = x$

解题步骤 2.2.13.3

从 $49 y^{2} + 49 \cdot 49$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49 (y^{2} + 49)} = x$

解题步骤 2.2.14

约去 $y^{2} + 49$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

约去公因数。

$\frac{(y^{2} + 49) \sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49 (y^{2} + 49)} = x$

解题步骤 2.2.14.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y \sqrt{y^{2} + 49}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49} = x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 重写成 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y \sqrt{y^{2} + 49})}}{49} = x$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 49}$ 重写成 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{49} = x$

解题步骤 2.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}$ 重写成 ${((y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{((y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} = x$

解题步骤 2.4

两边同时乘以 $49$ 。

$\frac{{((y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 $\frac{{((y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(y^{2} + 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) (y^{2} + 49 - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{{(y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 + y^{2} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} y^{2} + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

合并 $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 + y^{2} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} y^{2} + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.1.1.1.2.1

按照 $y^{2} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})$ 和 $y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} y^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{{(y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 - y^{2} y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.2.2

将 $- y^{2} y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $y^{2} y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{{(y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + 0 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.2.3

将 $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 49 + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1.1.3.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 49 + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(y^{4} + y^{2} \cdot 49 + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.2

将 $49$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{{(y^{4} + 49 \cdot y^{2} + 49 y^{2} + 49 \cdot 49 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.3

将 $49$ 乘以 $49$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 + 49 (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 (y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 49 + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.5

将 $49$ 移到 $y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 \cdot (y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}) + y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (- y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1.3.7.1

移动 $y$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - (y \cdot y) {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.7.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.8

通过指数相加将 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1.3.8.1

移动 ${(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} ({(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(y^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(y^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.8.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(y^{2} + 49)}^{1})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.9

化简 $- y^{2} {(y^{2} + 49)}^{1}$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} (y^{2} + 49))}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.10

运用分配律。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} y^{2} - y^{2} \cdot 49)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.11

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1.3.11.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - (y^{2} y^{2}) - y^{2} \cdot 49)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{2 + 2} - y^{2} \cdot 49)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.11.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{4} - y^{2} \cdot 49)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.3.12

将 $49$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{4} - 49 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4

合并 $y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - y^{4} - 49 y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.1.1.1.4.1

将 $- 49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $49 y {(y^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 + 0 - y^{4} - 49 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4.2

将 $y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y^{4} + 49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - y^{4} - 49 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4.3

从 $y^{4}$ 中减去 $y^{4}$ 。

$\frac{{(49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 + 0 - 49 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4.4

将 $49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(49 y^{2} + 49 y^{2} + 2401 - 49 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4.5

从 $49 y^{2}$ 中减去 $49 y^{2}$ 。

$\frac{{(49 y^{2} + 2401 + 0)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.1.4.6

将 $49 y^{2} + 2401$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.2

约去 $49$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{{(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}}}{49} \cdot 49 = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.1.1.2.2

重写表达式。

${(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}} = x \cdot 49$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $49$ 移到 $x$ 的左侧。

${(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}} = 49 x$

解题步骤 2.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(49 x)}^{2}$

解题步骤 2.6.2

化简指数。

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解题步骤 2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1.1

化简 ${({(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.1.1

将 ${({(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(49 x)}^{2}$

解题步骤 2.6.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(49 y^{2} + 2401)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(49 x)}^{2}$

解题步骤 2.6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(49 y^{2} + 2401)}^{1} = {(49 x)}^{2}$

解题步骤 2.6.2.1.1.2

化简。

$49 y^{2} + 2401 = {(49 x)}^{2}$

解题步骤 2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简 ${(49 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

对 $49 x$ 运用乘积法则。

$49 y^{2} + 2401 = 49^{2} x^{2}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

对 $49$ 进行 $2$ 次方运算。

$49 y^{2} + 2401 = 2401 x^{2}$

解题步骤 2.6.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.3.1

从等式两边同时减去 $2401$ 。

$49 y^{2} = 2401 x^{2} - 2401$

解题步骤 2.6.3.2

将 $49 y^{2} = 2401 x^{2} - 2401$ 中的每一项除以 $49$ 并化简。

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解题步骤 2.6.3.2.1

将 $49 y^{2} = 2401 x^{2} - 2401$ 中的每一项都除以 $49$ 。

$\frac{49 y^{2}}{49} = \frac{2401 x^{2}}{49} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.3.2.2.1

约去 $49$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{49 y^{2}}{49} = \frac{2401 x^{2}}{49} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{2401 x^{2}}{49} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.2.3.1.1

约去 $2401$ 和 $49$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.1

从 $2401 x^{2}$ 中分解出因数 $49$ 。

$y^{2} = \frac{49 (49 x^{2})}{49} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $49$ 。

$y^{2} = \frac{49 (49 x^{2})}{49 (1)} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y^{2} = \frac{49 (49 x^{2})}{49 \cdot 1} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{1} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3.1.1.2.4

用 $49 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = 49 x^{2} + \frac{- 2401}{49}$

解题步骤 2.6.3.2.3.1.2

用 $- 2401$ 除以 $49$ 。

$y^{2} = 49 x^{2} - 49$

解题步骤 2.6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{49 x^{2} - 49}$

解题步骤 2.6.3.4

化简 $\pm \sqrt{49 x^{2} - 49}$ 。

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解题步骤 2.6.3.4.1

从 $49 x^{2} - 49$ 中分解出因数 $49$ 。

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解题步骤 2.6.3.4.1.1

从 $49 x^{2}$ 中分解出因数 $49$ 。

$y = \pm \sqrt{49 (x^{2}) - 49}$

解题步骤 2.6.3.4.1.2

从 $- 49$ 中分解出因数 $49$ 。

$y = \pm \sqrt{49 (x^{2}) + 49 (- 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.1.3

从 $49 (x^{2}) + 49 (- 1)$ 中分解出因数 $49$ 。

$y = \pm \sqrt{49 (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{49 (x^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 2.6.3.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \pm \sqrt{49 (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.4

将 $49 (x + 1) (x - 1)$ 重写为 $7^{2} ((x + 1^{2}) (x - 1))$ 。

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解题步骤 2.6.3.4.4.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{7^{2} (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{7^{2} (x + 1^{2}) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.4.3

添加圆括号。

$y = \pm \sqrt{7^{2} ((x + 1^{2}) (x - 1))}$

解题步骤 2.6.3.4.5

从根式下提出各项。

$y = \pm 7 \sqrt{(x + 1^{2}) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.4.6

一的任意次幂都为一。

$y = \pm 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.6.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 是否为 $f (x) = \sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}))$ 和 $f^{- 1} (x) = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的定义域。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

解题步骤 4.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4.2.2.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.2.2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.2.2.4

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 4.2.2.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 4.2.2.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 4.2.2.6.1

检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.2.2.6.1.1

选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 4.2.2.6.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

解题步骤 4.2.2.6.1.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 4.2.2.6.2

检验区间 $- 1 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.2.2.6.2.1

选择区间 $- 1 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 4.2.2.6.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

解题步骤 4.2.2.6.2.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 4.2.2.6.3

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.2.2.6.3.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 4.2.2.6.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

解题步骤 4.2.2.6.3.3

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 4.2.2.6.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

解题步骤 4.2.2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$

解题步骤 4.2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

解题步骤 4.3

因为 $f^{- 1} (x) = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}))$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - 7 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 并非 $f (x) = \sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}))$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

三角学示例