三角学示例

$f (x) = 3 x - 0.5$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 x - 0.5$ 写为等式。

$y = 3 x - 0.5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3 y - 0.5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 y - 0.5 = x$ 。

$3 y - 0.5 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $0.5$ 。

$3 y = x + 0.5$

解题步骤 3.3

将 $3 y = x + 0.5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $3 y = x + 0.5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{0.5}{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{0.5}{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{3} + \frac{0.5}{3}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $0.5$ 除以 $3$ 。

$y = \frac{x}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + 0.1\overline{6}$ 是否为 $f (x) = 3 x - 0.5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 x - 0.5)$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{3 x - 0.5}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $3 x - 0.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{0.5 (6 x) - 0.5}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $- 0.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{0.5 (6 x) + 0.5 (- 1)}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $0.5 (6 x) + 0.5 (- 1)$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{0.5 (6 x - 1)}{3} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{0.5 (6 x - 1)}{3 (1)} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.3

分离分数。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = \frac{0.5}{3} \cdot \frac{6 x - 1}{1} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.4

用 $0.5$ 除以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 0.1\overline{6} (\frac{6 x - 1}{1}) + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.5

用 $6 x - 1$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 0.1\overline{6} (6 x - 1) + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 0.1\overline{6} (6 x) + 0.1\overline{6} \cdot - 1 + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $6$ 乘以 $0.1\overline{6}$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 1 x + 0.1\overline{6} \cdot - 1 + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.3.8

将 $0.1\overline{6}$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 1 x - 0.1\overline{6} + 0.1\overline{6}$

解题步骤 5.2.4

合并 $1 x - 0.1\overline{6} + 0.1\overline{6}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 0.1\overline{6}$ 和 $0.1\overline{6}$ 相加。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 1 x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $1 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 x - 0.5) = 1 x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6})$ 。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = 3 (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) - 0.5$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 0.1\overline{6} - 0.5$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 0.1\overline{6} - 0.5$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = x + 3 \cdot 0.1\overline{6} - 0.5$

解题步骤 5.3.3.3

将 $3$ 乘以 $0.1\overline{6}$ 。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = x + 0.5 - 0.5$

解题步骤 5.3.4

从 $0.5$ 中减去 $0.5$ 。

$f (\frac{x}{3} + 0.1\overline{6}) = x + 0$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + 0.1\overline{6}$ 为 $f (x) = 3 x - 0.5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + 0.1\overline{6}$

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