三角学示例

$f (x) = \ln (x - 1)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \ln (x - 1)$ 写为等式。

$y = \ln (x - 1)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \ln (y - 1)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\ln (y - 1) = x$ 。

$\ln (y - 1) = x$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y - 1)} = e^{x}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (y - 1) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x} = y - 1$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $y - 1 = e^{x}$ 。

$y - 1 = e^{x}$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = e^{x} + 1$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ 是否为 $f (x) = \ln (x - 1)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\ln (x - 1))$ 。

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

解题步骤 5.2.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (e^{x} + 1)$ 。

$f (e^{x} + 1) = \ln ((e^{x} + 1) - 1)$

解题步骤 5.3.3

合并 $(e^{x} + 1) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x} + 0)$

解题步骤 5.3.3.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.3.4

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (e^{x} + 1) = x \ln (e)$

解题步骤 5.3.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{x} + 1) = x \cdot 1$

解题步骤 5.3.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{x} + 1) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ 为 $f (x) = \ln (x - 1)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$

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