三角学示例

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

解题步骤 1

将 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 写为等式。

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $7 \arcsin (y^{2}) = x$ 。

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

解题步骤 3.2

将 $7 \arcsin (y^{2}) = x$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $7 \arcsin (y^{2}) = x$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\arcsin (y^{2})$ 除以 $1$ 。

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

解题步骤 3.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 是否为 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

解题步骤 5.3

Find the domain of the inverse.

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解题步骤 5.3.1

求 $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

解题步骤 5.3.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

解题步骤 5.3.1.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{x}{7} \geq 0$

解题步骤 5.3.1.2.3

两边同时乘以 $7$ 。

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

解题步骤 5.3.1.2.4

化简。

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解题步骤 5.3.1.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.4.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

解题步骤 5.3.1.2.4.1.1.2

重写表达式。

$x \geq 0 \cdot 7$

解题步骤 5.3.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.2.4.2.1

将 $0$ 乘以 $7$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.1.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{7} = π - 0$

解题步骤 5.3.1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.6.1

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

解题步骤 5.3.1.2.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.6.2.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.6.2.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

解题步骤 5.3.1.2.6.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 7 (π - 0)$

解题步骤 5.3.1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.2.6.2.2.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = 7 π$

解题步骤 5.3.1.2.7

求 $\sin (\frac{x}{7})$ 的周期。

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解题步骤 5.3.1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.3.1.2.7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{7}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

解题步骤 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ 约为 $0.\overline{142857}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.1.2.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 7$

解题步骤 5.3.1.2.7.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$14 π$

解题步骤 5.3.1.2.8

$\sin (\frac{x}{7})$ 函数的周期为 $14 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $14 π$ 弧度将重复出现。

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.1.2.9

合并答案。

$x = 7 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.1.2.10

使用每一个根建立验证区间。

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

解题步骤 5.3.1.2.11

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 5.3.1.2.11.1

检验区间 $0 < x < 7 π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.1.2.11.1.1

选择区间 $0 < x < 7 π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 5.3.1.2.11.1.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

解题步骤 5.3.1.2.11.1.3

左边的 $0.28184285$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 5.3.1.2.11.2

检验区间 $7 π < x < 14 π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.1.2.11.2.1

选择区间 $7 π < x < 14 π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 24$

解题步骤 5.3.1.2.11.2.2

使用原不等式中的 $24$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

解题步骤 5.3.1.2.11.2.3

左边的 $- 0.28305585$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 5.3.1.2.11.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$0 < x < 7 π$ 为真

$7 π < x < 14 π$ 为假

$0 < x < 7 π$ 为真

$7 π < x < 14 π$ 为假

解题步骤 5.3.1.2.12

解由使等式成立的所有区间组成。

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 5.3.2

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解题步骤 5.3.2.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

无解

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 的定义域并不等于 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ 并非 $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

三角学 示例

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