三角学示例

$f (x) = 2 - 7 x^{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ 写为等式。

$y = 2 - 7 x^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 - 7 y^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 - 7 y^{3} = x$ 。

$2 - 7 y^{3} = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 7 y^{3} = x - 2$

解题步骤 3.3

将 $- 7 y^{3} = x - 2$ 中的每一项除以 $- 7$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 7 y^{3} = x - 2$ 中的每一项都除以 $- 7$ 。

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 7$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{- 2}{- 7}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{2}{7}$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\sqrt[3]{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{1}}$

解题步骤 3.5.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

解题步骤 3.5.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.5.1

将 ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{7^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7}$

解题步骤 3.5.5.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{49}}{7}$

解题步骤 3.5.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ 是否为 $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 - 7 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- (2 - 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

运用分配律。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 1 \cdot 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 + 7 x^{3} + 2)}}{7}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (7 x^{3} + 0)}}{7}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $7 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 \cdot (7 x^{3})}}{7}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $343 x^{3}$ 重写为 ${(7 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

解题步骤 5.2.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.2.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 {(\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})}^{3}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}$ 重写为 $49 (- x + 2)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{49 (- x + 2)}$ 重写成 ${(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{({(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.4

将 $49$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 98}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.5

从 $- 49 x + 98$ 中分解出因数 $49$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.5.1

从 $- 49 x$ 中分解出因数 $49$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 98}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2

从 $98$ 中分解出因数 $49$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 (2)}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.3

从 $49 (- x) + 49 (2)$ 中分解出因数 $49$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

解题步骤 5.3.3.3

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{343}$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 (- 1) (\frac{49 (- x + 2)}{343})$

解题步骤 5.3.3.4.2

从 $343$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

解题步骤 5.3.3.4.3

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

解题步骤 5.3.3.4.4

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $49$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

解题步骤 5.3.3.5.2

用 $- x + 2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x + 2)$

解题步骤 5.3.3.6

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x) - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.3.7

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 2$

解题步骤 5.3.4

合并 $2 + x - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ 为 $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

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