三角学示例

$f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ 写为等式。

$y = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 \sin^{3} (4 y + 1)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ 。

$2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$

解题步骤 3.2

将 $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\sin^{3} (4 y + 1)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{3} (4 y + 1) = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (4 y + 1) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.4.3.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.5.4.1

约去公因数。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.3.5.4.2

重写表达式。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.3.5.5

计算指数。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.4.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

解题步骤 3.5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$4 y + 1 = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$

解题步骤 3.6

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$

解题步骤 3.7

将 $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ 是否为 $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1))$ 。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 (2 \sin^{3} (4 x + 1))}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{8 \sin^{3} (4 x + 1)}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $8 \sin^{3} (4 x + 1)$ 重写为 ${(2 \sin (4 x + 1))}^{3}$ 。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{{(2 \sin (4 x + 1))}^{3}}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.2.2

用 $\sin (4 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x + 1))}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4})$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1)$

解题步骤 5.3.4

合并 $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 0)$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}))$

解题步骤 5.3.5

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.3.6

对 $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7

将 ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ 重写为 $4 x$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4 x}$ 重写成 ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.7.5

化简。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{8})$

解题步骤 5.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

解题步骤 5.3.9.2

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

解题步骤 5.3.9.3

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.3.10

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.10.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.3.10.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ 为 $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

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