三角学示例

$y = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \arcsin (\frac{y + 3}{4})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$ 。

$\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$\frac{y + 3}{4} = \sin (x)$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

分解分数 $\frac{y + 3}{4}$ 成为两个分数。

$\frac{y}{4} + \frac{3}{4} = \sin (x)$

解题步骤 2.4

从等式两边同时减去 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.5

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.6

化简方程的两边。

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解题步骤 2.6.1

化简左边。

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解题步骤 2.6.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.6.1.1.2

重写表达式。

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.6.2

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.1

化简 $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.1

运用分配律。

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

解题步骤 2.6.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

解题步骤 2.6.2.1.2.2

约去公因数。

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

解题步骤 2.6.2.1.2.3

重写表达式。

$y = 4 \sin (x) - 3$

解题步骤 2.7

从等式两边同时减去 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.8

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.9

化简方程的两边。

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解题步骤 2.9.1

化简左边。

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解题步骤 2.9.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.9.1.1.2

重写表达式。

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

解题步骤 2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.9.2.1

化简 $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ 。

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解题步骤 2.9.2.1.1

运用分配律。

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

解题步骤 2.9.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

解题步骤 2.9.2.1.2.2

约去公因数。

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

解题步骤 2.9.2.1.2.3

重写表达式。

$y = 4 \sin (x) - 3$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ 是否为 $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4}))$ 。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) - 3$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

解题步骤 4.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 3 - 3$

解题步骤 4.2.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (4 \sin (x) - 3)$ 。

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{(4 \sin (x) - 3) + 3}{4})$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x) + 0}{4})$

解题步骤 4.3.3.2

将 $4 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

解题步骤 4.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

解题步骤 4.3.4.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ 为 $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

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