三角学示例

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\log_{2} (2 y - 3) = x$ 。

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{2} (2 y - 3) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{x} = 2 y - 3$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $2 y - 3 = 2^{x}$ 。

$2 y - 3 = 2^{x}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 y = 2^{x} + 3$

解题步骤 2.3.3

将 $2 y = 2^{x} + 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 y = 2^{x} + 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.3.1

约去 $2^{x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.3.1.1

从 $2^{x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.1.2.4

用 $2^{x - 1}$ 除以 $1$ 。

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.2

要将 $2^{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.3

组合 $2^{x - 1}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.5

通过指数相加将 $2^{x - 1}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 2.3.3.3.5.1

将 $2^{x - 1}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 2.3.3.3.5.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.5.2

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.3.3.5.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

解题步骤 2.3.3.3.5.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ 是否为 $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ 。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ 。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

解题步骤 4.3.4

合并 $2^{x} + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

解题步骤 4.3.4.2

将 $2^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

解题步骤 4.3.5

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

解题步骤 4.3.6

$2$ 的对数底 $2$ 的值为 $1$ 。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

解题步骤 4.3.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ 为 $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

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