三角学示例

$x = - 3 \cos (2 y)$

解题步骤 1

将方程重写为 $- 3 \cos (2 y) = x$ 。

$- 3 \cos (2 y) = x$

解题步骤 2

将 $- 3 \cos (2 y) = x$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $- 3 \cos (2 y) = x$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\cos (2 y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 y) = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (2 y) = - \frac{x}{3}$

解题步骤 3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$

解题步骤 4

将 $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 5

交换变量。

$x = \frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2}$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$ 。

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 6.3.1.1.2

重写表达式。

$\arccos (- \frac{y}{3}) = x \cdot 2$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arccos (- \frac{y}{3}) = 2 x$

解题步骤 6.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.4.1

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $y$ 。

$- \frac{y}{3} = \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.2

等式两边同时乘以 $- 3$ 。

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3

化简左边。

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解题步骤 6.4.3.1

化简 $- 3 (- \frac{y}{3})$ 。

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解题步骤 6.4.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1.1.1

将 $- \frac{y}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3.1.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3.1.1.4

重写表达式。

$- - y = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3.1.2

乘。

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解题步骤 6.4.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 6.4.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 7

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$

解题步骤 8

验证 $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ 是否为 $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ 的反函数。

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解题步骤 8.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 8.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 8.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 8.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

解题步骤 8.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

解题步骤 8.2.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (\arccos (- \frac{x}{3}))$

解题步骤 8.2.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

解题步骤 8.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.1

将 $- \frac{x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \frac{- x}{3}$

解题步骤 8.2.5.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

解题步骤 8.2.5.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

解题步骤 8.2.5.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 1 (- x)$

解题步骤 8.2.6

乘。

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解题步骤 8.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 1 x$

解题步骤 8.2.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = x$

解题步骤 8.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 8.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 8.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- 3 \cos (2 x))$ 。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

解题步骤 8.3.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $- 3 \cos (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3})}{2}$

解题步骤 8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 (1)})}{2}$

解题步骤 8.3.3.2.2

约去公因数。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 8.3.3.2.3

重写表达式。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (2 x)}{1})}{2}$

解题步骤 8.3.3.2.4

用 $- \cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

解题步骤 8.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ 为 $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$

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