三角学示例

$y = \frac{1}{3^{x}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{3^{y}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{3^{y}} = x$ 。

$\frac{1}{3^{y}} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $3^{y}$ 。

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $3^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$1 = x \cdot 3^{y}$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

将方程重写为 $x \cdot 3^{y} = 1$ 。

$x \cdot 3^{y} = 1$

解题步骤 2.4.2

将 $x \cdot 3^{y} = 1$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $x \cdot 3^{y} = 1$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $3^{y}$ 除以 $1$ 。

$3^{y} = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 2.4.4

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{y})$ 。

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 2.4.5

将 $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 2.4.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.5.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 2.4.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $3^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.4

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.5

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

解题步骤 4.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

解题步骤 4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ 为 $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

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