三角学示例

$y = \frac{1}{2 x + 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{2 y + 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{2 y + 1} = x$ 。

$\frac{1}{2 y + 1} = x$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y + 1, 1$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$2 y + 1, 1$

解题步骤 2.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 y + 1$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{2 y + 1} = x$ 中的每一项乘以 $2 y + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{2 y + 1} = x$ 中的每一项乘以 $2 y + 1$ 。

$\frac{1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2 y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = x (2 y + 1)$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

运用分配律。

$1 = x (2 y) + x \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$1 = 2 x y + x \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 = 2 x y + x$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

将方程重写为 $2 x y + x = 1$ 。

$2 x y + x = 1$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x y = 1 - x$

解题步骤 2.4.3

将 $2 x y = 1 - x$ 中的每一项除以 $2 x$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2 x y = 1 - x$ 中的每一项都除以 $2 x$ 。

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 2.4.3.3.1.1.2

重写表达式。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.4.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 1})} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x + 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 1}} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = 1 (\frac{2 x + 1}{2}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\frac{2 x + 1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简项。

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解题步骤 4.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并 $2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 1}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2})$ 。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1 + 1}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

解题步骤 4.3.3.5

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = 1 x$

解题步骤 4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}$ 为 $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2}$

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