三角学示例

$y = | x - 1 | + 2$

解题步骤 1

交换变量。

$x = | y - 1 | + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $| y - 1 | + 2 = x$ 。

$| y - 1 | + 2 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$| y - 1 | = x - 2$

解题步骤 2.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y - 1 = \pm (x - 2)$

解题步骤 2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y - 1 = x - 2$

解题步骤 2.4.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = x - 2 + 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$y = x - 1$

解题步骤 2.4.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y - 1 = - (x - 2)$

解题步骤 2.4.4

化简 $- (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - (x - 2)$

解题步骤 2.4.4.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - (x - 2)$

解题步骤 2.4.4.3

运用分配律。

$y - 1 = - x - - 2$

解题步骤 2.4.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 1 = - x + 2$

解题步骤 2.4.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.4.5.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - x + 2 + 1$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = - x + 3$

解题步骤 2.4.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = x - 1$

$y = - x + 3$

$y = x - 1$

$y = - x + 3$

$y = x - 1$

$y = - x + 3$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1, - x + 3$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = x - 1, - x + 3$ 是否为 $f (x) = | x - 1 | + 2$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = | x - 1 | + 2$ 和 $f^{- 1} (x) = x - 1, - x + 3$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = | x - 1 | + 2$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[2, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $x - 1$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.4

因为 $f^{- 1} (x) = x - 1, - x + 3$ 的定义域并不等于 $f (x) = | x - 1 | + 2$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = x - 1, - x + 3$ 并非 $f (x) = | x - 1 | + 2$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

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