三角学示例

$y = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} \cos (3 y)) = 4 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $4 (\frac{1}{4} \cos (3 y))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (3 y)$ 。

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

解题步骤 2.3.1.2.2

重写表达式。

$\cos (3 y) = 4 x$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$3 y = \arccos (4 x)$

解题步骤 2.5

将 $3 y = \arccos (4 x)$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 y = \arccos (4 x)$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x))$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)))}{3}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4}) \cdot \cos (3 x))}{3}$

解题步骤 4.2.3.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (1 \cdot \cos (3 x))}{3}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\cos (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arccos (4 x)}{3})$ 。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

解题步骤 4.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (\arccos (4 x))$

解题步骤 4.3.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

解题步骤 4.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

解题步骤 4.3.5.3

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ 为 $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

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