三角学示例

$\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ 。

$\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$

解题步骤 2.2

将 $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ 中的每一项除以 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ 中的每一项都除以 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sin (y)$ 除以 $1$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

化简分母。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}}$

解题步骤 2.2.3.1.3.6.5

计算指数。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.1.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$

解题步骤 2.2.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (y) = x \frac{2}{\sqrt{6}}$

解题步骤 2.2.3.3

将 $\frac{2}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\sin (y) = x (\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

解题步骤 2.2.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.3.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 2.2.3.4.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 2.2.3.4.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 2.2.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.4.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 2.2.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 2.2.3.4.6.5

计算指数。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 2.2.3.5

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.5.1

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

解题步骤 2.2.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.2.2

约去公因数。

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.2.3

重写表达式。

$\sin (y) = x \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.2.3.6

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 。

$\sin (y) = \frac{x \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ 是否为 $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}})$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{(\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) \sqrt{6}}{3})$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{6 (\frac{3}{2})}}{3})$

解题步骤 4.2.3.2

组合 $6$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.4

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{18}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

用 $18$ 除以 $2$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{9}}{3})$

解题步骤 4.2.5.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{3^{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.5.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

解题步骤 4.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

解题步骤 4.2.6.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3}))$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) \sqrt{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.6.4.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.6.4.2

重写表达式。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.6.6.5

计算指数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.7

化简分子。

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解题步骤 4.3.7.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 4.3.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 4.3.8

乘以 $\frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.8.1

将 $\frac{x \sqrt{6}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.8.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.8.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.8.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{6}$

解题步骤 4.3.9

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

解题步骤 4.3.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

解题步骤 4.3.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 4.3.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.9.4.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 4.3.9.4.2

重写表达式。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

解题步骤 4.3.9.5

计算指数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

解题步骤 4.3.10

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.10.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

解题步骤 4.3.10.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ 为 $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

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