三角学示例

$\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$ 。

$\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

化简 $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin (y) \sqrt{2}) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.1.1.2

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.2.1

从 $\sin (y) \sqrt{2}$ 中分解出因数 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

化简 $\frac{2}{\sqrt{2}} x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} x$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.5

计算指数。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

解题步骤 2.3.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.3.1

约去公因数。

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sin (y) = \sqrt{2} x$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (\sqrt{2} x)$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ 是否为 $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}))$

解题步骤 4.2.3

乘以 $\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} (\sin (x) \sqrt{2})}{2})$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{2} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.4.5

计算指数。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

解题步骤 4.2.5.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arcsin (\sqrt{2} x))$ 。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sin (\arcsin (\sqrt{2} x)) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sqrt{2} x \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.2

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.2.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 4.3.3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

解题步骤 4.3.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.3.3.5

计算指数。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ 为 $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$

三角学 示例

三角学示例