三角学示例

$\tan (- \frac{5 x}{6})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \tan (- \frac{5 y}{6})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$ 。

$\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$- \frac{5 y}{6} = \arctan (x)$

解题步骤 2.3

等式两边同时乘以 $- \frac{6}{5}$ 。

$- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

化简 $- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6})$ 。

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解题步骤 2.4.1.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.1.1

将 $- \frac{6}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.1.2

将 $- \frac{5 y}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.1.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{6 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.2.1

从 $- 5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.3

乘。

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解题步骤 2.4.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $- \frac{6}{5} \arctan (x)$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

组合 $\arctan (x)$ 和 $\frac{6}{5}$ 。

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 6}{5}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $6$ 移到 $\arctan (x)$ 的左侧。

$y = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ 是否为 $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6}))$ 。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (\tan (- \frac{5 x}{6}))}{5}$

解题步骤 4.2.3

因为 $\tan (- \frac{5 x}{6})$ 是一个奇函数，所以将 $\tan (- \frac{5 x}{6})$ 重写成 $- \tan (\frac{5 x}{6})$ 。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (- \tan (\frac{5 x}{6}))}{5}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{6 \arctan (x)}{5})$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{5 (- \frac{6 \arctan (x)}{5})}{6})$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 5 \frac{6 \arctan (x)}{5}}{6})$

解题步骤 4.3.3.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{6 \arctan (x)}{5}$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 5 (6 \arctan (x))}{5}}{6})$

解题步骤 4.3.4

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 30 \arctan (x)}{5}}{6})$

解题步骤 4.3.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 30 \arctan (x)}{5}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1.1

从 $- 30 \arctan (x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5}}{6})$

解题步骤 4.3.5.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 (1)}}{6})$

解题步骤 4.3.5.1.3

约去公因数。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

解题步骤 4.3.5.1.4

重写表达式。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 6 \arctan (x)}{1}}{6})$

解题步骤 4.3.5.2

用 $- 6 \arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 6 \arctan (x)}{6})$

解题步骤 4.3.6

约去 $- 6$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $- 6 \arctan (x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6})$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 (1)})$

解题步骤 4.3.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 \cdot 1})$

解题步骤 4.3.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- \arctan (x)}{1})$

解题步骤 4.3.6.2.4

用 $- \arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (\arctan (x))$

解题步骤 4.3.7

正切和余切互为反函数。

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ 为 $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

三角学 示例

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