三角学示例

$\tan (\arccos (6 x))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \tan (\arccos (6 y))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\tan (\arccos (6 y)) = x$ 。

$\tan (\arccos (6 y)) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arccos (6 y)$ 。

$\arccos (6 y) = \arctan (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $y$ 。

$6 y = \cos (\arctan (x))$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\cos (\arctan (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (x))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$6 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$6 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.3.6.4.1

约去公因数。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4.2

重写表达式。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.5

化简。

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 6}$

解题步骤 2.5.3.3

将 $6$ 移到 $1 + x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$ 是否为 $f (x) = \tan (\arccos (6 x))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x)))$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

解题步骤 4.2.3

重新整理项。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (6 x)) + 1}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

解题步骤 4.2.4

使用勾股恒等式。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

解题步骤 4.2.5

重新整理项。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (\tan^{2} (\arccos (6 x)) + 1)}$

解题步骤 4.2.6

使用勾股恒等式。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

解题步骤 4.2.7

化简分子。

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解题步骤 4.2.7.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sec (\arccos (6 x))}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

解题步骤 4.2.7.2

在平面中画出顶点为 $(6 x, \sqrt{1^{2} - {(6 x)}^{2}})$ 、 $(6 x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (6 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(6 x, \sqrt{1^{2} - {(6 x)}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arccos (6 x))$ 为 $\frac{1}{6 x}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

解题步骤 4.2.8

化简分母。

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解题步骤 4.2.8.1

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 {(\frac{1}{6 x})}^{2}}$

解题步骤 4.2.8.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.8.2.1

对 $\frac{1}{6 x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1^{2}}{{(6 x)}^{2}})}$

解题步骤 4.2.8.2.2

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1^{2}}{6^{2} x^{2}})}$

解题步骤 4.2.8.3

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1}{6^{2} x^{2}})}$

解题步骤 4.2.8.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1}{36 x^{2}})}$

解题步骤 4.2.9

化简项。

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解题步骤 4.2.9.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{36 x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6}{36 x^{2}}}$

解题步骤 4.2.9.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6}{36 x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 (1)}{36 x^{2}}}$

解题步骤 4.2.9.2.2

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 (1)}{6 (6 x^{2})}}$

解题步骤 4.2.9.2.3

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 \cdot 1}{6 (6 x^{2})}}$

解题步骤 4.2.9.2.4

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{1}{6 x^{2}}}$

解题步骤 4.2.10

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{6 x} \cdot (6 x^{2})$

解题步骤 4.2.11

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 x}) \cdot x^{2}$

解题步骤 4.2.12

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.12.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 (x)}) \cdot x^{2}$

解题步骤 4.2.12.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 x}) \cdot x^{2}$

解题步骤 4.2.12.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

解题步骤 4.2.13

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.13.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

解题步骤 4.2.13.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

解题步骤 4.2.13.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})))$

解题步骤 4.3.3

在平面中画出顶点为 $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ 、 $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})))$ 为 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.3.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.9

化简。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.9.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.9.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.9.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.10

将 $\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.11

化简分母。

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解题步骤 4.3.11.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.11.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.12

将 $\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ 。

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解题步骤 4.3.12.1

从 $(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.12.2

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.13

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

解题步骤 4.3.14

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.15

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.15.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.15.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 4.3.16

组合 $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.17

将 $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.18

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.18.1

将 $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.18.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.18.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.18.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.18.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.3.18.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.18.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.18.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.18.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.18.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.18.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.3.18.6.5

化简。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.3.19

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$ 为 $f (x) = \tan (\arccos (6 x))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$

三角学 示例

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