三角学示例

$\tan (\arcsin (x))$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \tan (\arcsin (y))$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\tan (\arcsin (y)) = x$ 。

$\tan (\arcsin (y)) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arcsin (y)$ 。

$\arcsin (y) = \arctan (x)$

解题步骤 2.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$y = \sin (\arctan (x))$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\sin (\arctan (x))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (x))$ 为 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.3.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.5

化简。

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 是否为 $f (x) = \tan (\arcsin (x))$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\tan (\arcsin (x)))$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{(\tan (\arcsin (x))) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}$

解题步骤 4.2.3

重新整理项。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\tan^{2} (\arcsin (x)) + 1}$

解题步骤 4.2.4

使用勾股恒等式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec^{2} (\arcsin (x))}$

解题步骤 4.2.5

从 $\sec^{2} (\arcsin (x))$ 中分解出因数 $\sec (\arcsin (x))$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x)) \sec (\arcsin (x))}$

解题步骤 4.2.6

分离分数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\tan (\arcsin (x))}{\sec (\arcsin (x))}$

解题步骤 4.2.7

将 $\sec (\arcsin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\tan (\arcsin (x))}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

解题步骤 4.2.8

将 $\tan (\arcsin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))}}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

解题步骤 4.2.9

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \cos (\arcsin (x)))$

解题步骤 4.2.10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.10.1

将 $\cos (\arcsin (x))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1})$

解题步骤 4.2.10.2

约去 $\cos (\arcsin (x))$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.10.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1})$

解题步骤 4.2.10.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.11.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (x))$ 为 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.11.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.3

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.11.4.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.11.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.4.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.4.6.5

化简。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.11.5.1

对 $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.5.2

对 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.5.3

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.11.6.1

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.11.6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.6.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.1.5

化简。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.11.6.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.11.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.11.6.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.11.6.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.6.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.7

约去 $1 + x$ 和 ${(1 + x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.7.1

从 $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.11.7.2.1

从 ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.7.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.7.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.8

约去 $1 - x$ 和 ${(1 - x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.8.1

从 $x^{2} (1 - x)$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.11.8.2.1

从 $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.8.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.8.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.10

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.11.11.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.11.11.1.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.1.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.1.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.11.11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.11.11.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.11.11.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.11.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.12

将 $\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.13

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.14

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.11.15.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.11.15.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.15.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.11.15.6.5

化简。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12

化简分母。

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解题步骤 4.2.12.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arcsin (x))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.12.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.3

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.12.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.12.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.12.4.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.12.4.6.5

化简。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.13

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.13.1

约去 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.13.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.13.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = 1 \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.13.2

将 $\sin (\arcsin (x))$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 4.2.14

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \tan (\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}))$

解题步骤 4.3.3

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}))$ 为 $\frac{\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

解题步骤 4.3.5

化简分母。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

解题步骤 4.3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.5.3

化简。

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解题步骤 4.3.5.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.5.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.5.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.5.3.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}}$

解题步骤 4.3.5.5

化简分母。

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解题步骤 4.3.5.5.1

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.5.5.2

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.5.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}}}$

解题步骤 4.3.5.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

解题步骤 4.3.5.6

将 $\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))$ 。

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解题步骤 4.3.5.6.1

从 $(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

解题步骤 4.3.5.6.2

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 。

解题步骤 4.3.5.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}}$

解题步骤 4.3.5.7

从根式下提出各项。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.5.8

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}))$

解题步骤 4.3.7

将 $\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.8

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.1

约去公因数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.8.2

重写表达式。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = x \sqrt{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}})$

解题步骤 4.3.9

组合 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ 和 $x$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}} \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.3.10

组合 $\frac{x}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ 和 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.11

将 $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.12

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.12.1

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

解题步骤 4.3.12.2

对 $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.12.3

对 $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 4.3.12.6

将 ${\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}^{2}$ 重写为 $(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})$ 。

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解题步骤 4.3.12.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ 重写成 ${((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{({((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.12.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.12.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

解题步骤 4.3.12.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.12.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 4.3.12.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

解题步骤 4.3.12.6.5

化简。

解题步骤 4.3.13

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

解题步骤 4.3.14

将 $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

解题步骤 4.3.15

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

解题步骤 4.3.16

重新排序。

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解题步骤 4.3.16.1

移动 $1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}$

解题步骤 4.3.16.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - (x \sqrt{1 + x^{2}}) + x^{2} + x^{4} + x^{3} (- \sqrt{1 + x^{2}}) + x \sqrt{1 + x^{2}} + x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} + x^{2} (- {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}))}$

解题步骤 4.3.16.3

化简。

解题步骤 4.3.17

约去 $1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.17.1

约去公因数。

解题步骤 4.3.17.2

重写表达式。

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 为 $f (x) = \tan (\arcsin (x))$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

三角学 示例

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