三角学示例

$y = 2 + \sqrt{6 x - 5}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 2 + \sqrt{6 y - 5}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2 + \sqrt{6 y - 5} = x$ 。

$2 + \sqrt{6 y - 5} = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\sqrt{6 y - 5} = x - 2$

解题步骤 2.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{6 y - 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 y - 5}$ 重写成 ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(6 y - 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

化简。

$6 y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$6 y - 5 = (x - 2) (x - 2)$

解题步骤 2.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

运用分配律。

$6 y - 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

运用分配律。

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

运用分配律。

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 y - 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 y - 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$6 y - 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

解题步骤 2.4.3.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$6 y - 5 = x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 2.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.5.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.1.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$6 y = x^{2} - 4 x + 4 + 5$

解题步骤 2.5.1.2

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$6 y = x^{2} - 4 x + 9$

解题步骤 2.5.2

将 $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{9}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.3.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (3)}{6}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.3.1.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ 是否为 $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5})$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{{(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}$ 重写为 $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{6 x - 5}$ 的左侧。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.3

乘以 $\sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1.3.1

对 $\sqrt{6 x - 5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{1 + 1}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4

将 ${\sqrt{6 x - 5}}^{2}$ 重写为 $6 x - 5$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 x - 5}$ 重写成 ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {({(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.1.4.5

化简。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3.3.3

将 $2 \sqrt{6 x - 5}$ 和 $2 \sqrt{6 x - 5}$ 相加。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.4

要将 $- \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $\frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.6

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 x - 5}$ 重写成 ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 x - 5}$ 重写成 ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.3

运用分配律。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 2 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 4 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.5

运用分配律。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 4 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.6

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.8

从 $- 1$ 中减去 $8$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 9 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.9

从 $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9 + 0}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.10

将 $6 x - 9$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.11

从 $6 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.11.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) - 9}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.11.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.1.11.3

从 $3 (2 x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.7.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.8

化简项。

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解题步骤 4.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

解题步骤 4.2.8.2

合并 $2 x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.8.2.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 4.2.8.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.8.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.8.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2})$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

将 $- \frac{2 x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 (2) (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.2.3

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 x}{3})) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.2.4

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 2 (- 2 x) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (3) (\frac{3}{2}) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.4.2

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.4.3

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 - 5}$

解题步骤 4.3.3.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 9 - 5}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

解题步骤 4.3.3.4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.3.3.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

解题步骤 4.3.3.4.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 4.3.3.4.3

重写多项式。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

解题步骤 4.3.3.4.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + x - 2$

解题步骤 4.3.4

合并 $2 + x - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ 为 $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

三角学 示例

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