三角学示例

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $1 + 2 \arctan (y) = x$ 。

$1 + 2 \arctan (y) = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \arctan (y) = x - 1$

解题步骤 2.3

将 $2 \arctan (y) = x - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 \arctan (y) = x - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\arctan (y)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ 是否为 $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ 。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

解题步骤 4.2.4

合并 $1 + 2 \arctan (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

解题步骤 4.2.4.2

将 $2 \arctan (x)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

解题步骤 4.2.5.2

用 $\arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

解题步骤 4.2.6

正切和余切互为反函数。

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ 。

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ 为 $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

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