三角学示例

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - 3 \sin (\frac{1}{2} y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ 。

$- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$

解题步骤 2.2

将 $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sin (\frac{1}{2} y)$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{3}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$\frac{1}{2} y = \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{2} = \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 2.5

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 2.6

化简左边。

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解题步骤 2.6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 2.6.1.2

重写表达式。

$y = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ 是否为 $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x))$ 。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x)}{3})$

解题步骤 4.2.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $- 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3})$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 (1)})$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- \sin (\frac{1}{2} x)}{1})$

解题步骤 4.2.3.2.4

用 $- \sin (\frac{1}{2} x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{1}{2} x))$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2 \arcsin (- \frac{x}{3}))$ 。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (- \frac{x}{3}))))$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

解题步骤 4.3.3.3

重写表达式。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\arcsin (- \frac{x}{3}))$

解题步骤 4.3.4

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 (- \frac{x}{3})$

解题步骤 4.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- \frac{x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \frac{- x}{3}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

解题步骤 4.3.5.3

约去公因数。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

解题步骤 4.3.5.4

重写表达式。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 1 (- x)$

解题步骤 4.3.6

乘。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 1 x$

解题步骤 4.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ 为 $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

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