三角学示例

$y = - 3 x^{3}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - 3 y^{3}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- 3 y^{3} = x$ 。

$- 3 y^{3} = x$

解题步骤 2.2

将 $- 3 y^{3} = x$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 3 y^{3} = x$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{- 3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{x}{3}$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$

解题步骤 2.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{x}{3}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{3}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}}$

解题步骤 2.4.2

从根式下提出各项。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

解题步骤 2.4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

解题步骤 2.4.4

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$

解题步骤 2.4.5

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

解题步骤 2.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2

对 $\sqrt[3]{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 2.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

解题步骤 2.4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

解题步骤 2.4.6.5

将 ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.4.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 2.4.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 2.4.6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.4.6.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.5.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.4.6.5.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

解题步骤 2.4.6.5.5

计算指数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

解题步骤 2.4.7

化简分子。

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解题步骤 2.4.7.1

将 ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{3^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

解题步骤 2.4.7.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{9}}{3}$

解题步骤 2.4.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.4.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$

解题步骤 2.4.8.2

将 $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ 是否为 $f (x) = - 3 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 3 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{9 (- 3 x^{3})}}{3}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 27 x^{3}}}{3}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 27 x^{3}$ 重写为 ${(- 3 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 3 x)}^{3}}}{3}$

解题步骤 4.2.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- 3 x}{3}$

解题步骤 4.2.4

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

解题步骤 4.2.4.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 {(- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3})$

解题步骤 4.3.3.2

对 $\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}}))$

解题步骤 4.3.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5

将 ${\sqrt[3]{9 x}}^{3}$ 重写为 $9 x$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{9 x}$ 重写成 ${(9 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{({(9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.5.5

化简。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{27})$

解题步骤 4.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- \frac{9 x}{27}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 \frac{- 9 x}{27}$

解题步骤 4.3.7.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 9 x}{27})$

解题步骤 4.3.7.3

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

解题步骤 4.3.7.4

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

解题步骤 4.3.7.5

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- 9 x}{9}$

解题步骤 4.3.8

约去 $- 9$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.1

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9}$

解题步骤 4.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.8.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 (1)}$

解题步骤 4.3.8.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.8.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- x}{1}$

解题步骤 4.3.8.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 (- x)$

解题步骤 4.3.9

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 1 x$

解题步骤 4.3.9.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ 为 $f (x) = - 3 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

三角学 示例

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